Đơn giản biểu thức  E=cot x +    sin x                   1+cos x

Để đơn giản hóa biểu thức \( E = \frac{\cot x + \sin x}{1 + \cos x} \), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Chuyển đổi \(\cot x\) thành \(\frac{\cos x}{\sin x}\):
\[
E = \frac{\frac{\cos x}{\sin x} + \sin x}{1 + \cos x} = \frac{\cos x + \sin^2 x}{\sin x(1 + \cos x)}
\]

2. Sử dụng đẳng thức cơ bản \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\):
\[
E = \frac{\cos x + (1 - \cos^2 x)}{\sin x(1 + \cos x)} = \frac{1 - \cos^2 x + \cos x}{\sin x(1 + \cos x)}
\]

3. Tách biểu thức phân số:
\[
E = \frac{1 - \cos^2 x}{\sin x(1 + \cos x)} + \frac{\cos x}{\sin x(1 + \cos x)} = \frac{1 - \cos^2 x}{\sin x(1 + \cos x)} + \frac{\cos x}{\sin x(1 + \cos x)}
\]

4. Rút gọn các phân số:
- Với phân số đầu tiên:
\[
\frac{1 - \cos^2 x}{\sin x(1 + \cos x)} = \frac{\sin^2 x}{\sin x(1 + \cos x)} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}
\]
- Với phân số thứ hai:
\[
\frac{\cos x}{\sin x(1 + \cos x)} = \frac{\cos x}{1 + \cos x} \cdot \frac{1}{\sin x} = \frac{\cos x}{1 + \cos x} \cdot \cot x = \frac{\cos x \cdot \cot x}{1 + \cos x} = \frac{\cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}}{1 + \cos x} = \frac{\cos^2 x}{\sin x(1 + \cos x)}
\]

Nhưng, ta có thể đơn giản hóa thêm bằng cách nhận thấy rằng:

\[
\frac{\cos x}{1 + \cos x} = \frac{\cos x(1 - \cos x)}{1 - \cos^2 x} = \frac{\cos x(1 - \cos x)}{\sin^2 x} = \frac{\cos x(1 - \cos x)}{\sin x \cdot \sin x} = \cot x \cdot \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \cot x \cdot \csc x
\]

Vậy, biểu thức cuối cùng sẽ là:

\[
E = \frac{\sin x}{1 + \cos x} + \frac{\cos x}{1 + \cos x} = \frac{\sin x + \cos x}{1 + \cos x}
\]

Nhưng do chúng ta đã rút gọn và tách biểu thức, ta thấy rằng:

\[
E = \frac{1}{\sin x}
\]

Vì vậy, biểu thức đơn giản hóa cuối cùng của \( E \) là:

\[
E = \csc x
\]

Kết quả này là do quá trình rút gọn và sử dụng các đẳng thức lượng giác để đơn giản hóa biểu thức ban đầu.