Cho tam giác ABC(AB < AC), AD là phân giác trong của góc A. Qua trung điểm M của cạnh BC, ta kẻ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh AC tại E và cất tia BA tại F. Biết rằng AB = 6 và 4BD=3BM. Tính: |vectorCM -

Trước tiên, ta sẽ phân tích và giải bài toán này từng bước một:

1. Xác định tỷ lệ của BD và BM:
- Cho \(4BD = 3BM\), ta có \(BD = \frac{3}{4}BM\).

2. Tính độ dài của BD và DC:
- Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(BM = MC = \frac{BC}{2}\).
- Gọi \(BC = x\), thì \(BM = \frac{x}{2}\) và \(BD = \frac{3}{4} \times \frac{x}{2} = \frac{3x}{8}\).
- Do đó, \(DC = BC - BD = x - \frac{3x}{8} = \frac{5x}{8}\).

3. Sử dụng tính chất của phân giác:
- Phân giác \(AD\) của góc \(A\) chia cạnh đối diện \(BC\) theo tỷ lệ của hai cạnh kề. Cụ thể, \(BD : DC = AB : AC\).
- Từ đó, ta có \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{\frac{3x}{8}}{\frac{5x}{8}} = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{6}{AC} \Rightarrow AC = 10\).

4. Xác định tọa độ của các điểm:
- Đặt \(A\) tại \((0, 0)\), \(B\) tại \((6, 0)\), \(C\) tại \((10, 0)\).
- \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(M\) có tọa độ \((8, 0)\).
- Đường thẳng song song với \(AD\) qua \(M\) sẽ cắt \(AC\) tại \(E\). Vì \(AD\) là phân giác, nên tỷ lệ của \(AE\) và \(EC\) sẽ giống như tỷ lệ của \(BD\) và \(DC\), tức là \(AE : EC = 3 : 5\).

5. Tính tọa độ của \(E\):
- Tọa độ của \(E\) sẽ là \((6, y)\) vì \(E\) nằm trên \(AC\) và \(M\) nằm trên đường thẳng song song với \(AD\).
- Từ tỷ lệ \(AE : EC = 3 : 5\), ta có \(AE = 3k\) và \(EC = 5k\), tổng cộng là \(8k = AC = 10 \Rightarrow k = \frac{5}{4}\).
- Vậy \(AE = 3 \times \frac{5}{4} = \frac{15}{4}\) và \(E\) có tọa độ \(\left(\frac{15}{4}, 0\right)\).

6. Tính vector \(CM\) và \(EM\):
- Vector \(CM = C - M = (10, 0) - (8, 0) = (2, 0)\).
- Vector \(EM = E - M = \left(\frac{15}{4}, 0\right) - (8, 0) = \left(-\frac{17}{4}, 0\right)\).

7. Tính độ dài vector \(|CM - EM|\):
- \(CM - EM = (2, 0) - \left(-\frac{17}{4}, 0\right) = \left(2 + \frac{17}{4}, 0\right) = \left(\frac{25}{4}, 0\right)\).
- Độ dài của vector này là \(\left|\frac{25}{4}\right| = \frac{25}{4}\).

Vậy, độ dài của vector \(|CM - EM|\) là \(\frac{25}{4}\).