Tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). M là trung điểm BC. Vẽ MD vuông góc với AB tại D, ME vuông góc với AC tại E  Chứng minh tứ giác CMDE là hình bình hành (giữa học kì I lớp 8)

Để chứng minh tứ giác CMDE là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này song song và bằng nhau. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và trung điểm.

1. Sử dụng tính chất của tam giác vuông:
- Tam giác ABC vuông tại A cho nên cạnh AB vuông góc với AC.
- Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Từ tính chất trung điểm, ta có rằng MB = MC.

2. Vẽ các đường vuông góc:
- Đường MD vuông góc với AB tại D nghĩa là góc AMD = 90 độ.
- Đường ME vuông góc với AC tại E nghĩa là góc AMC = 90 độ.

3. Cùng đi qua điểm M:
- Vì M là trung điểm của BC, cho nên BM = MC.
- Mặt khác, từ định nghĩa về đường vuông góc, ta thấy rằng D và E đều là các điểm nằm trên các đường thẳng khác nhau nhưng đều tạo thành các góc vuông với hai cạnh AB và AC.

4. Chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện paralell:
- Ta có: MD || CE (vì cả hai đều vuông góc với AB).
- Tương tự, ta có ME || CD (vì cả hai đều vuông góc với AC).

5. Chứng minh độ dài của các cạnh đối diện bằng nhau:
- Trong tam giác vuông AMD, theo định nghĩa điểm D nằm trên đường vuông góc từ M tới AB, và bởi vì M là trung điểm, nên đường MD sẽ chia đều đoạn AB.
- Hơn nữa, chiều dài từ M đến D (MD) sẽ bằng chiều dài từ M đến E (ME) vì hai đoạn thẳng này đều là chiều cao từ M xuống các cạnh tương ứng của tam giác vuông.

Từ hai điều đã chứng minh được: Các cặp cạnh đối diện CM và DE, MD và CE, không chỉ song song mà còn có độ dài bằng nhau. Do đó, tứ giác CMDE thỏa mãn các điều kiện cần thiết để được coi là hình bình hành.