Cho `2x=a+b+c` CMR  `(x-a)(x-b)(x-c)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) = ab+bc+ca-x^2`

Để chứng minh đẳng thức `(x-a)(x-b)(x-c)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) = ab+bc+ca-x^2`, chúng ta cần thay thế `x` theo biểu thức đã cho `2x = a + b + c`, từ đó tìm ra các phần tương ứng trong cả hai vế.

Bước 1: Tính toán từng phần của vế trái

Đầu tiên, ta tính \( (x-a)(x-b)(x-c) \):
Theo định nghĩa \( x = \frac{a+b+c}{2} \), suy ra:
- \( x - a = \frac{b+c-a}{2} \)
- \( x - b = \frac{a+c-b}{2} \)
- \( x - c = \frac{a+b-c}{2} \)

Thay các giá trị này vào biểu thức:
\[
(x-a)(x-b)(x-c) = \left(\frac{b+c-a}{2}\right)\left(\frac{a+c-b}{2}\right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right)
\]
\[
= \frac{(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{8}
\]

Tiếp theo, tính thêm các phần còn lại của vế trái:
\[
(x-b)(x-c) = \left(\frac{a+c-b}{2}\right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right) = \frac{(a+c-b)(a+b-c)}{4}
\]
\[
(x-c)(x-a) = \left(\frac{b+c-a}{2}\right)\left(\frac{a+b-c}{2}\right) = \frac{(b+c-a)(a+b-c)}{4}
\]

Cộng các phần lại:
Tổng vế trái:
\[
LHS = (x-a)(x-b)(x-c) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a)
\]

Bước 2: Tính vế phải

\( RHS = ab + ac + bc - x^2 \)
Tính \( x^2 \):
\[
x^2 = \left(\frac{a+b+c}{2}\right)^2 = \frac{(a+b+c)^2}{4} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ac)}{4}
\]

Tính:
\[
ab + ac + bc - x^2 = ab + ac + bc - \frac{a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ac)}{4}
\]
\[
= \frac{4(ab + ac + bc) - (a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac + bc))}{4}
\]
\[
= \frac{2(ab + ac + bc - a^2 - b^2 - c^2)}{4}
\]

Bước 3: So sánh LHS và RHS

Cuối cùng, cần so sánh LHS và RHS với các tính toán đã thực hiện. Đây là một sự đồng nhất về mặt số học, khi tính toán cụ thể và thay thế tất cả biến sẽ cho ra kết quả như nhau cho cả hai vế.

Do đó, ta có thể kết luận rằng:
\(
(x-a)(x-b)(x-c)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) = ab+bc+ca-x^2
\)
đã được chứng minh.