(X+3)(x+4)(x+5)(x+6)+1

Để giải bài toán \((X+3)(x+4)(x+5)(x+6)+1\), đầu tiên, chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức \((X+3)(x+4)(x+5)(x+6)\).

Bắt đầu với hai nhóm đầu tiên \((X+3)(x+6)\):
\[
(X + 3)(X + 6) = X^2 + 6X + 3X + 18 = X^2 + 9X + 18
\]

Tiếp theo, nhân với hai nhóm còn lại \((x+4)(x+5)\):
\[
(x + 4)(x + 5) = x^2 + 5x + 4x + 20 = x^2 + 9x + 20
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ nhân hai kết quả chúng ta vừa tìm được lại với nhau:
\[
(X^2 + 9X + 18)(x^2 + 9x + 20)
\]

Sử dụng phép phân phối để nhân hai đa thức này:
\[
= X^2(x^2 + 9x + 20) + 9X(x^2 + 9x + 20) + 18(x^2 + 9x + 20)
\]
Tính theo từng phần:
1. \(X^2(x^2 + 9x + 20) = X^2x^2 + 9X^2x + 20X^2\)
2. \(9X(x^2 + 9x + 20) = 9X^3 + 81X^2 + 180X\)
3. \(18(x^2 + 9x + 20) = 18x^2 + 162X + 360\)

Kết hợp tất cả các hạng tử lại, ta có:
\[
= X^2X^2 + 9XX^2 + 18x^2 + 9XX + 81X^2 + 162X + 20X^2 + 180X + 360
\]

Giờ thì chúng ta sẽ nhóm lại các hạng tử giống nhau:
\[
= X^4 + (9 + 81 + 20)x^2 + (9 + 81 + 162 + 180)x + 360
= X^4 + 110X^2 + 430X + 360
\]

Cuối cùng, đừng quên cộng thêm 1 từ phía trước:
\[
= X^4 + 110X^2 + 430X + 360 + 1 = X^4 + 110X^2 + 430X + 361
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:
\[
X^4 + 110X^2 + 430X + 361
\]