Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc AC, từ B kẻ tia By song song AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, đường thẳng MP cắt AC tại Q

a. Để chứng minh tứ giác AQHM là hình thang, ta cần chỉ ra rằng một trong hai cặp cạnh đối diện của tứ giác AQHM song song với nhau.

Xét các tia Ax vuông góc với cạnh AC và tia By song song với AC:
- Ta có AAx ⊥ AC và By // AC. Theo định nghĩa, hai đường thẳng vuông góc với một đường thẳng thì sẽ tạo thành một góc 90 độ với đường thẳng đó. Do đó, ta có thể coi hai đoạn thẳng AM và BH là hai đoạn thẳng vuông góc với AC.

Suy ra, cạnh AQ (nằm trên đường thẳng MP) và cạnh MH (nằm trên đường thẳng AI) sẽ là hai cạnh song song, vì cả hai đều vuông góc với AC.

Vì vậy, tứ giác AQHM có AQ // MH, suy ra AQHM là hình thang.

b. Để xem xét tứ giác AMBQ là hình gì, ta sẽ đánh giá các cạnh của nó.

Xét các điểm:
- Điểm A và điểm M nằm trên tia Ax, trong khi điểm B và điểm Q nằm trên đường thẳng BQ, tứ giác AMBQ có các cạnh AM, MB, AB, và AQ.

Vì M nằm trên đường thẳng đi qua AB và Q cũng là giao điểm giữa MP và AB, chúng ta thấy rằng tứ giác AMBQ có hai cạnh AM và BQ không song song nhưng có một cặp cạnh AB và MQ vận động cùng hướng.

Do đó, tứ giác AMBQ không phải là hình chữ nhật hay hình vuông nhưng là một hình thang, trong đó AM // BQ.

c. Để chứng minh tam giác PIQ là tam giác cân, ta cần chứng minh hai cạnh PI và PQ có độ dài bằng nhau.

Ta có điểm P là trung điểm của AB, do đó:
- PA = PB.

Với điểm Q nằm trên AC, từ tứ giác AQMH mà chúng ta đã chứng minh là hình thang, suy ra rằng:
- Đường thẳng MP cắt AC tại Q và hai cạnh AQ và MH khác nhau, khẳng định rằng PQ là cạnh không nghiêng theo góc nào từ P.

Vì AQ treo trên góc AHM với đường đỏ một cách đồng đều, có nghĩa là hai đoạn PI và PQ sẽ có cùng độ dài do đối xứng qua đường thẳng AI.

Vậy, tam giác PIQ có hai cạnh bằng nhau, suy ra tam giác PIQ là tam giác cân.