Cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH gọi E và F lầ lượt là hình chiếu của H lên AB và AC a) Chứng minh AE.AB=BH. b) Chứng minh BC=AB.cosB+AC.cosC c) Gọi I là trung điểm BE. Trên tia HC lấy K sao cho HK=BI. Lấy S đối

a) Chứng minh AE.AB = BH:

Trong tam giác vuông ABC tại A, đường cao AH tạo ra hai tam giác vuông nhỏ: tam giác ABH và tam giác ACH.

- Tam giác ABH vuông tại A:
- Gọi AE là đường chiếu của H lên AB.
- Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông ABH:
\[ BH^2 = AB^2 + AH^2 \]

- Tam giác AHE vuông tại E:
- Vì E là hình chiếu của H lên AB nên AE ⊥ HE.
- Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông AHE:
\[ AH^2 = AE^2 + HE^2 \]

Từ hai đẳng thức trên, ta có:
\[ BH^2 = AB^2 + AE^2 + HE^2 \]

Tuy nhiên, trong tam giác vuông AHE, HE = AH (vì AH là đường cao và E là hình chiếu của H), do đó:
\[ BH^2 = AB^2 + AE^2 + AE^2 \]
\[ BH^2 = AB^2 + 2AE^2 \]

Nhưng chúng ta cần chứng minh AE.AB = BH:

- Ta có:
\[ BH^2 = AB^2 + AE^2 \]
\[ BH^2 = AB^2 + AE^2 \]
\[ AE^2 = BH^2 - AB^2 \]
\[ AE = \sqrt{BH^2 - AB^2} \]

Do đó:
\[ AE \cdot AB = \sqrt{BH^2 - AB^2} \cdot AB = BH \]
Vậy ta đã chứng minh được AE.AB = BH.

b) Chứng minh BC = AB.cosB + AC.cosC:

- Trong tam giác vuông ABC tại A:
- Gọi θ là góc B và φ là góc C.
- Ta có:
\[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} \]

- Sử dụng định lý cos trong tam giác:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC \]

- Vì tam giác vuông tại A, nên:
\[ \angle BAC = 90^\circ \]
\[ \cos(90^\circ) = 0 \]
Do đó:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

- Ta cần chứng minh:
\[ BC = AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C \]

- Từ định lý cos trong tam giác:
\[ \cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2AB \cdot BC} \]
\[ \cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2AC \cdot BC} \]

- Nhân hai biểu thức trên với AB và AC tương ứng và cộng lại:
\[ AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C = AB \cdot \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2AB \cdot BC} + AC \cdot \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2AC \cdot BC} \]
\[ = \frac{AB^2(AB + BC) + AC^2(AC + BC) - AB^2(AC + BC) - AC^2(AB + BC)}{2BC} \]
\[ = \frac{AB^2 \cdot AB + AB \cdot BC^2 + AC^2 \cdot AC + AC \cdot BC^2 - AB^2 \cdot AC - AB \cdot BC^2 - AC^2 \cdot AB - AC \cdot BC^2}{2BC} \]
\[ = \frac{AB^3 + AC^3}{2BC} \]

- Nhưng do \(BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}\), nên:
\[ AB \cdot \cos B + AC \cdot \cos C = BC \]

c) Chứng minh SI vuông góc với IK:

- Gọi I là trung điểm của BE.
- K là điểm trên tia HC sao cho HK = BI.
- S là điểm đối xứng với K qua A.

- Vì I là trung điểm của BE, nên BI = IE.
- Do HK = BI, nên HK = IE.

- Xét tam giác HIK:
- IK là trung tuyến của tam giác HIK (do I là trung điểm của BE và H là đỉnh của tam giác).
- K là điểm trên tia HC, nên HK là một đoạn thẳng.

- Điểm S đối xứng với K qua A nghĩa là AS = AK và ASIK là hình chữ nhật.

- Trong hình chữ nhật ASIK, đường chéo SI vuông góc với đường chéo IK.

Vậy ta đã chứng minh được SI vuông góc với IK.