giai he phuong trinh y-x=6 1/y + 1/x=7/20

Để giải hệ phương trình:

1. \( y - x = 6 \)
2. \( \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{7}{20} \)

Bước 1: Từ phương trình đầu tiên, ta có thể biểu diễn \( y \) theo \( x \):

\( y = x + 6 \)

Bước 2: Thay \( y \) vào phương trình thứ hai:

\( \frac{1}{x + 6} + \frac{1}{x} = \frac{7}{20} \)

Bước 3: Tìm mẫu chung cho hai phân số bên trái:

Mẫu chung là \( x(x + 6) \), do đó:

\( \frac{x + 6 + x}{x(x + 6)} = \frac{7}{20} \)

Cảm giác phần tử tử rõ ràng hơn:

\( \frac{2x + 6}{x(x + 6)} = \frac{7}{20} \)

Bước 4: Bây giờ, nhân chéo hai vế:

\( 20(2x + 6) = 7x(x + 6) \)

Bước 5: Phân phối và thu gọn:

\( 40x + 120 = 7x^2 + 42x \)

Bước 6: Đưa tất cả các hạng tử về một phía của phương trình:

\( 7x^2 + 42x - 40x - 120 = 0 \)

Tức là:

\( 7x^2 - 2x - 120 = 0 \)

Bước 7: Áp dụng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \( a = 7, b = -2, c = -120 \):

\[
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-120)}}{2 \cdot 7}
\]

\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 3360}}{14}
\]

\[
x = \frac{2 \pm \sqrt{3364}}{14}
\]

\[
\sqrt{3364} = 58
\]

Do đó:

\[
x = \frac{2 \pm 58}{14}
\]

\[
x_1 = \frac{60}{14} = \frac{30}{7}, x_2 = \frac{-56}{14} = -4
\]

Bước 8: Tìm giá trị của \( y \):

Với \( x_1 = \frac{30}{7} \):

\( y_1 = x_1 + 6 = \frac{30}{7} + 6 = \frac{30}{7} + \frac{42}{7} = \frac{72}{7} \)

Với \( x_2 = -4 \):

\( y_2 = -4 + 6 = 2 \)

Kết quả:

Hệ nghiệm của phương trình là:

1. \( (x, y) = \left(\frac{30}{7}, \frac{72}{7}\right) \)
2. \( (x, y) = (-4, 2) \)