Cho số thực dương x,y cho biết x+y = 2 Tìm GTLN của P = x^2.y^2(x^2+y^2)

Để tìm giá trị lớn nhất cho biểu thức P = x^2 y^2 (x^2 + y^2) với điều kiện x + y = 2, ta sẽ sử dụng các phương pháp biến đổi và tính toán tối ưu.

Bước 1: Thay thế biến bằng điều kiện

Ta có x + y = 2, từ đó y = 2 - x. Thay y vào biểu thức P:

P = x^2 (2 - x)^2 (x^2 + (2 - x)^2)

Bước 2: Đơn giản hóa biểu thức P

Tính toán x^2 + (2 - x)^2:

x^2 + (2 - x)^2 = x^2 + (4 - 4x + x^2) = 2x^2 - 4x + 4

Vậy:

P = x^2 (2 - x)^2 (2x^2 - 4x + 4)

Bước 3: Tính P theo biến x

Thay (2 - x) bằng t, với t = 2 - x ⇒ x = 2 - t, và t sẽ chạy từ 0 đến 2.

Khi đó, ta có:

P = (2 - t)^2 t^2 ((2 - t)^2 + t^2)

Bước 4: Tìm giá trị cực trị

Sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất. Để đơn giản, ta có thể tìm giá trị của P thông qua việc tính các giá trị P ở các điểm nhận biết hoặc dùng đạo hàm để tìm cực trị.

Bước 5: Tối ưu hóa qua các giá trị cụ thể

Ghi nhớ rằng x + y = 2, ta sẽ thử các cặp giá trị có thể:

- Khi x = 1, y = 1:
P = 1^2 1^2 (1^2 + 1^2) = 1 1 2 = 2

- Khi P có x = 0.5, y = 1.5:
P = 0.5^2 1.5^2 (0.5^2 + 1.5^2) = 0.25 2.25 (0.25 + 2.25) = 0.25 2.25 2.5 = 1.40625

- Khi x = 2, y = 0 và ngược lại:
P sẽ bằng 0.

Từ các tính toán trên, ta thấy giá trị lớn nhất của P xảy ra khi x = y = 1.

Bước 6: Kết luận

Giá trị lớn nhất của P = 2 tại điểm x = y = 1. Vậy GTLN của P = 2.