3  Chứng minh các bất đẳng thức sau:  a) 2.(a²+b²)≥(a+b)² b) 3(a²+b²+c²)≥(a+b+c)²≥3(ab+bc+ca)

a) Chứng minh bất đẳng thức \(2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2\)

Chúng ta sẽ bắt đầu bằng cách mở rộng các biểu thức bên trong bất đẳng thức:

- Bên trái:
\[
2(a^2 + b^2) = 2a^2 + 2b^2
\]

- Bên phải:
\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

Bây giờ, ta so sánh hai biểu thức này:

\[
2a^2 + 2b^2 \geq a^2 + 2ab + b^2
\]

Chúng ta có thể đơn giản hóa bất đẳng thức này bằng cách chuyển tất cả các hạng tử về một bên:

\[
2a^2 + 2b^2 - a^2 - 2ab - b^2 \geq 0
\]

\[
a^2 + b^2 - 2ab \geq 0
\]

\[
(a - b)^2 \geq 0
\]

Vì \( (a - b)^2 \) luôn không âm (hoặc bằng không nếu \(a = b\)), nên bất đẳng thức này luôn đúng. Điều này chứng minh rằng:

\[
2(a^2 + b^2) \geq (a + b)^2
\]

b) Chứng minh bất đẳng thức \(3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)\)

Phần thứ nhất: \(3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2\)

- Bên trái:
\[
3(a^2 + b^2 + c^2) = 3a^2 + 3b^2 + 3c^2
\]

- Bên phải:
\[
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)
\]

So sánh hai biểu thức này:

\[
3(a^2 + b^2 + c^2) \geq a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)
\]

\[
2(a^2 + b^2 + c^2) \geq 2(ab + bc + ca)
\]

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca
\]

Bất đẳng thức này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức tam giác:

\[
(a + b)^2 \leq 3(a^2 + b^2)
\]

Và khi mở rộng ra ba biến số:

\[
a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \leq 3(a^2 + b^2 + c^2)
\]

\[
3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2
\]

Phần thứ hai: \((a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)\)

- Bên trái:
\[
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)
\]

- Bên phải:
\[
3(ab + bc + ca)
\]

So sánh hai biểu thức:

\[
a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) \geq 3(ab + bc + ca)
\]

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq ab + bc + ca
\]

Điều này đã được chứng minh ở phần trên.

Vì vậy, cả hai phần của bất đẳng thức đều đúng, và chúng ta đã chứng minh được:

\[
3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2 \geq 3(ab + bc + ca)
\]