Giải lim x tiến đến 3+

Để giải giới hạn lim (x → 3+) của biểu thức sau:

\[
\frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3}
\]

ta sẽ thay x bằng 3 trước để kiểm tra:

\[
\frac{\sqrt{3+1} - 2}{3 - 3} = \frac{\sqrt{4} - 2}{0} = \frac{2 - 2}{0} = \frac{0}{0}
\]

Kết quả là dạng không xác định, do đó cần phải xử lý thêm. Để giải quyết điều này, ta sẽ thực hiện nhân với liên hợp của tử số.

Liên hợp của tử số \(\sqrt{x+1} - 2\) là \(\sqrt{x+1} + 2\). Nhân cả tử và mẫu với liên hợp này:

\[
\frac{(\sqrt{x+1} - 2)(\sqrt{x+1} + 2)}{(x - 3)(\sqrt{x+1} + 2)}
\]

Tử số sẽ được biến đổi:

\[
(\sqrt{x+1})^2 - 2^2 = x + 1 - 4 = x - 3
\]

Vậy ta có:

\[
\frac{x - 3}{(x - 3)(\sqrt{x+1} + 2)}
\]

Ta có thể rút gọn \((x - 3)\) ở tử và mẫu (vì x → 3+ và x không bằng 3):

\[
\frac{1}{\sqrt{x+1} + 2}
\]

Giờ đây, ta có thể tính giới hạn khi x tiến đến 3 từ phía bên phải:

\[
\lim_{x \to 3+} \frac{1}{\sqrt{x+1} + 2} = \frac{1}{\sqrt{3+1} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}
\]

Vậy nên kết quả của giới hạn là:

\[
\lim_{x \to 3+} \frac{\sqrt{x+1} - 2}{x - 3} = \frac{1}{4}
\]