Chứng minh mười một mũ một tram trừ một chia hết cho một nghìnRút gọn đa thức B= x^39+x^36 +…x^3 + một / x^40 + x^38 + x^36 +… + x^2 + một

Để giải bài toán đầu tiên, chúng ta cần chứng minh rằng \( 11^1 \mod 1000 = 0 \). Cụ thể, xét \( 11^{100} - 1 \). Theo định lý Fermat, nếu \( p \) là số nguyên tố và \( a \) là số không chia hết cho \( p \), thì \( a^{p-1} \equiv 1 \mod p \).

Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta không thể áp dụng trực tiếp định lý này tại vì \( 1000 \) không phải là số nguyên tố. Thay vào đó, chúng ta có thể áp dụng định lý Euler hoặc định lý số học. Đầu tiên, hãy phân tích \( 1000 = 10^3 = (2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 \). Việc chứng minh sẽ được thực hiện bằng cách kiểm tra \( 11^{100} - 1 \) chia hết cho \( 8 \) và \( 125 \) (bởi vì \( 1000 = 8 \cdot 125 \)).

- Đầu tiên, kiểm tra chia hết cho \( 8 \):
\( 11 \equiv 3 \mod 8 \), do vậy:
\( 11^{100} \equiv 3^{100} \mod 8 \).
Chúng ta có \( 3^2 \equiv 1 \mod 8 \), nên \( 3^{100} = (3^2)^{50} \equiv 1^{50} \equiv 1 \mod 8 \).
Vậy \( 11^{100} - 1 \equiv 0 \mod 8 \).

- Bây giờ kiểm tra chia hết cho \( 125 \):
Theo định lý Euler, đầu tiên ta tính \( \phi(125) = 125 \cdot (1 - \frac{1}{5}) = 100 \). Do đó, \( 11^{100} \equiv 1 \mod 125 \) vì \( 11 \) và \( 125 \) nguyên tố cùng nhau.
Vậy \( 11^{100} - 1 \equiv 0 \mod 125 \).

- Kết luận: Từ hai kết quả trên, theo định lý số học Trung Quốc, \( 11^{100} - 1 \equiv 0 \mod 1000 \). Điều này chứng tỏ rằng \( 11^{100} - 1 \) chia hết cho \( 1000 \).

Để giải bài toán thứ hai, rút gọn đa thức:

B = x^39 + x^36 + ... + x^3 + 1 / x^40 + x^38 + x^36 + ... + 1

Chúng ta bắt đầu với phần tử tử và mẫu.

- Tử: \( x^{39} + x^{36} + x^{33} + ... + x^3 + 1 \) là một cấp số nhân với tổng là \( \frac{x^{42} - 1}{x^3 - 1} \) khi tính số hạng từ \( x^3 \) đến \( x^{39} \).

- Mẫu: \( x^{40} + x^{38} + x^{36} + ... + 1 \) cũng tương tự, là một cấp số nhân với tổng là \( \frac{x^{42} - 1}{x^2 - 1} \) cho số hạng từ \( x^0 \) đến \( x^{40} \).

Vậy bài toán trở thành:

B = (x^42 - 1) / (x^3 - 1) * (x^2 - 1) / (x^42 - 1)

Sau khi rút gọn, chúng ta thấy rằng:

B = (x^2 - 1) / (x^3 - 1)

Cuối cùng, B có thể được viết gọn lại tuỳ theo yêu cầu của bài toán.