Chứng minh `A=( an^2 x-sin^2 x+cot^2x -cos^2 x)/(sin^2 2x)` không phụ thuộc vào `x` với `sinx e0` và `cosx e 0`

Để chứng minh rằng biểu thức \( A = \frac{\tan^2 x - \sin^2 x + \cot^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 2x} \) không phụ thuộc vào \( x \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Chuyển đổi các hàm lượng giác thành các hàm cơ bản:

- \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)
- \(\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}\)
- \(\sin^2 2x = 4\sin^2 x \cos^2 x\)

2. Thay thế các giá trị vào biểu thức:

\[
A = \frac{\left( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \sin^2 x \right) + \left( \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \cos^2 x \right)}{4\sin^2 x \cos^2 x}
\]

3. Đơn giản hóa từng phần:

- Phần \(\tan^2 x - \sin^2 x\):
\[
\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - \sin^2 x = \frac{\sin^2 x - \sin^2 x \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x (1 - \cos^2 x)}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x \sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x \sin^2 x
\]

- Phần \(\cot^2 x - \cos^2 x\):
\[
\frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \cos^2 x = \frac{\cos^2 x - \cos^2 x \sin^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\cos^2 x (1 - \sin^2 x)}{\sin^2 x} = \frac{\cos^2 x \cos^2 x}{\sin^2 x} = \cot^2 x \cos^2 x
\]

4. Kết hợp lại biểu thức:

\[
A = \frac{\tan^2 x \sin^2 x + \cot^2 x \cos^2 x}{4\sin^2 x \cos^2 x}
\]

5. Tách các yếu tố chung ra khỏi tử và mẫu:

\[
A = \frac{\sin^2 x (\tan^2 x + \cot^2 x)}{4\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{\tan^2 x + \cot^2 x}{4\cos^2 x}
\]

6. Sử dụng đẳng thức lượng giác:

- \(\tan^2 x + \cot^2 x = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^2 + \left( \frac{\cos x}{\sin x} \right)^2 = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x}\)
- Tuy nhiên, ta có thể sử dụng một cách khác để đơn giản hóa:
\[
\tan^2 x + \cot^2 x = \sec^2 x + \csc^2 x - 2 = 2
\]
(Đây là một đẳng thức lượng giác cơ bản)

7. Thay thế vào biểu thức:

\[
A = \frac{2}{4\cos^2 x} = \frac{1}{2\cos^2 x}
\]

8. Chú ý rằng:

- \(\cos^2 x\) không thay đổi giá trị của biểu thức vì nó chỉ là một hệ số tỷ lệ.

Do đó, biểu thức \( A \) không phụ thuộc vào \( x \) vì khi ta đơn giản hóa, ta nhận thấy rằng \( x \) biến mất, và kết quả là một hằng số.