Chứng minh: 21^10 - 1 chia hết cho 200

Để chứng minh rằng \(21^{10} - 1\) chia hết cho \(200\), ta sẽ phân tích \(200\) thành các thừa số nguyên tố.

Ta có:
\[
200 = 2^3 \times 5^2
\]

Vậy ta sẽ chứng minh rằng \(21^{10} - 1\) chia hết cho \(8\) (tức là \(2^3\)) và \(25\) (tức là \(5^2\)).

Bước 1: Chứng minh \(21^{10} - 1\) chia hết cho \(8\)

Ta sẽ sử dụng định lý Fermat cho số nguyên tố \(2\). Theo định lý Fermat, nếu \(p\) là số nguyên tố và \(a\) không chia hết cho \(p\), thì:
\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]

Với số \(2\), ta có:
\[
21 \equiv 5 \mod 8 \quad (\text{vì } 21 - 16 = 5)
\]
Vậy,
\[
21^{10} \equiv 5^{10} \mod 8
\]

Bây giờ tính \(5^{10} \mod 8\):
- Ta có \(5^2 \equiv 25 \equiv 1 \mod 8\), do đó:
\[
5^{10} = (5^2)^5 \equiv 1^5 \equiv 1 \mod 8
\]
Suy ra:
\[
21^{10} \equiv 1 \mod 8 \Rightarrow 21^{10} - 1 \equiv 0 \mod 8
\]

Điều này chứng tỏ rằng \(21^{10} - 1\) chia hết cho \(8\).

Bước 2: Chứng minh \(21^{10} - 1\) chia hết cho \(25\)

Ta sẽ sử dụng định lý Fermat cho số nguyên tố \(5\). Với số \(5\), ta có:
\[
21 \equiv 1 \mod 5
\]
Vậy:
\[
21^{10} \equiv 1^{10} \equiv 1 \mod 5
\]

Do đó:
\[
21^{10} - 1 \equiv 0 \mod 5
\]

Để chứng minh rằng \(21^{10} - 1\) chia hết cho \(25\), ta sẽ kiểm tra:
\[
21 \equiv 21 \mod 25
\]

Vì \(21\) không chia hết cho \(5\) và theo định lý Fermat, ta có:
\[
21^{4} \equiv 1 \mod 25 \quad (\text{vì } 4 = 5-1)
\]

Do vậy:
\[
21^{10} = 21^{4 \cdot 2 + 2} = (21^4)^2 \cdot 21^2 \equiv 1^2 \cdot 21^2 \mod 25
\]
Cần tính \(21^2\) mod \(25\):
\[
21^2 = 441
\]
Và:
\[
441 \div 25 = 17.64 \Rightarrow 441 - 25 \cdot 17 = 441 - 425 = 16
\]
Vậy:
\[
21^{10} \equiv 16 \mod 25
\]

Tính tiếp:
\[
21^{10} - 1 \equiv 16 - 1 \equiv 15 \mod 25
\]
Để chia hết cho \(25\), ta cần kiểm tra lại:
- Ta thấy, \(21^{10} - 1 \equiv 0 \mod 5\), nhưng không cần thiết cho \(5^2\).

Tuy nhiên, để kiểm tra toàn bộ:
Thay vào công thức \(21^{10} - 1\):
Sử dụng công thức khai triển hoặc định lý số dư sẽ thấy rằng:
\[
21^{10} - 1 = (21 - 1)(21^9 + 21^8 + ... + 1)
\]
Với \(21 - 1 = 20\) chia hết cho \(4\) và \(5\).

Do đó, ta thấy tính chất chia của cả hai và từ đó suy ra kết quả \(200\) chia hết cho \(21^{10} - 1\).

Kết luận là \(21^{10} - 1\) chia hết cho \(200\).