Chứng minh: M=32^2025-32^2023 chia hết cho 33

Ta có biểu thức M = 32^2025 - 32^2023. Để chứng minh rằng M chia hết cho 33, trước tiên ta sẽ đơn giản hóa biểu thức M.

Ta có thể khai thác yếu tố chung từ biểu thức:

M = 32^2023 * (32^2 - 1)

Bây giờ, ta sẽ tính 32^2 - 1:

32^2 = 1024, vậy nên 32^2 - 1 = 1024 - 1 = 1023.

Tiếp theo, ta có thể viết lại M như sau:

M = 32^2023 * 1023.

Để kết luận rằng M chia hết cho 33, ta sẽ xem xét hai phần trong biểu thức M: 32^2023 và 1023.

1. Tính 1023 chia hết cho 33:
- Chia 1023 cho 33, ta có: 1023 ÷ 33 = 31.
- Kết quả này là một số nguyên, biểu thị rằng 1023 chia hết cho 33.

2. Tính 32^2023:
- Ta sẽ xem xét 32 modulo 33: 32 ≡ -1 (mod 33).
- Khi nâng lên lũy thừa, ta sẽ tính: 32^2023 ≡ (-1)^2023 (mod 33).
- Vì 2023 là số lẻ, ta có: (-1)^2023 ≡ -1 (mod 33).

Từ đó, M có thể được thay thế vào như sau:

M ≡ 32^2023 * 1023 (mod 33)
= (-1) * 0 (mod 33)
= 0 (mod 33).

Chúng ta đã chỉ ra rằng M chia hết cho 33, vì vậy:

M = 32^2025 - 32^2023 chia hết cho 33.