Cho `a,b,c` thỏa mãn `2a+b=6+3c,3a+4b=3c+4` Tìm Min `A=2a+3b-4c`

Để giải bài toán này, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2a + 3b - 4c \) với điều kiện \( 2a + b = 6 + 3c \) và \( 3a + 4b = 3c + 4 \).

Bước 1: Giải hệ phương trình để tìm \(a, b\) và \(c\)

Chúng ta có hai phương trình:
1. \( 2a + b = 6 + 3c \)
2. \( 3a + 4b = 3c + 4 \)

Ta sẽ giải hệ phương trình này:

- Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[
b = 6 + 3c - 2a
\]

- Thay \( b \) vào phương trình thứ hai:
\[
3a + 4(6 + 3c - 2a) = 3c + 4
\]
\[
3a + 24 + 12c - 8a = 3c + 4
\]
\[
-5a + 12c + 24 = 3c + 4
\]
\[
-5a + 9c = -20
\]
\[
5a = 9c + 20
\]
\[
a = \frac{9c + 20}{5}
\]

- Thay \( a \) vào phương trình \( b = 6 + 3c - 2a \):
\[
b = 6 + 3c - 2 \left( \frac{9c + 20}{5} \right)
\]
\[
b = 6 + 3c - \frac{18c + 40}{5}
\]
\[
b = 6 + 3c - \frac{18c}{5} - 8
\]
\[
b = -2 + \frac{15c - 18c}{5}
\]
\[
b = -2 - \frac{3c}{5}
\]

Bước 2: Tính \( A \) với \( a \) và \( b \) đã tìm được:

\[
A = 2a + 3b - 4c
\]
\[
A = 2 \left( \frac{9c + 20}{5} \right) + 3 \left( -2 - \frac{3c}{5} \right) - 4c
\]
\[
A = \frac{18c + 40}{5} - 6 - \frac{9c}{5} - 4c
\]
\[
A = \frac{18c + 40 - 9c - 30c - 30}{5}
\]
\[
A = \frac{40 - 21c - 30}{5}
\]
\[
A = \frac{10 - 21c}{5}
\]
\[
A = 2 - \frac{21c}{5}
\]

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \):

Biểu thức \( A = 2 - \frac{21c}{5} \) là một hàm tuyến tính giảm theo \( c \). Để \( A \) đạt giá trị nhỏ nhất, \( c \) phải lớn nhất có thể. Tuy nhiên, \( c \) không bị giới hạn bởi điều kiện nào khác ngoài việc nó phải là số thực. Do đó, \( A \) có thể giảm vô hạn khi \( c \) tăng vô hạn.

Nhưng nếu xét trong phạm vi có giá trị thực tế, ta có thể chọn \( c \) sao cho \( a \) và \( b \) đều dương hoặc không âm, nhưng vì không có điều kiện gì khác ngoài hệ phương trình ban đầu, ta có thể kết luận:

- Khi \( c \) lớn vô hạn, \( A \) sẽ tiến về âm vô hạn. Nhưng trong bối cảnh toán học thuần túy, giá trị nhỏ nhất của \( A \) không xác định vì \( c \) có thể lớn vô hạn.

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là không xác định trong trường hợp toán học thuần túy, nhưng nếu xét trong phạm vi thực tế, ta có thể nói \( A \) có thể nhỏ đến mức nào tùy thuộc vào giá trị của \( c \).