Giải bài 3 trang 78 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) DE vuông góc với BC                                b) BE vuông góc với DC

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác ABC vuông cân tại A

$\Rightarrow$ $\hat{B}=\hat{C}={45}^o$(2 góc ở đáy bằng nhau)

Xét tam giác AED có :

AE = AD

AC vuông góc với AB

$\Rightarrow$ Tam giác AED vuông cân tại A

$\Rightarrow \widehat{ADE}=\widehat{AED}={45}^o$

Mà $\widehat{AED};\widehat{CEF}$là 2 góc đối đỉnh $\Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{CEF}={45}^o$

Xét tam giác CEF áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác ta có :

$\Rightarrow \hat{F}+\hat{C}+\hat{E}={180}^o$

$\Rightarrow \hat{F}={180}^o-{45}^o-{45}^o={90}^o\Rightarrow EF\mathrm{\perp }BC\Rightarrow DE\mathrm{\perp }BC$

b) Vì DE vuông góc với BC $\Rightarrow$ DE là đường cao của tam giác BCD

Vì AC cắt DE tại E nên E là trực tâm tam giác BCD (Do AC cũng là đường cao của tam giác BCD)

$\Rightarrow$BE cùng là đường cao của tam giác BCD (định lí 3 đường cao trong tam giác đi qua trực tâm)

$\Rightarrow$BE vuông góc với DC