Giải Bài 9 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc C cắt AB ở M. Từ B kẻ BH vuông góc với đường thẳng CM (H ∈ CM). Trên tia đối của tia HC lấy điểm E sao cho HE = HM.

a) Chứng minh rằng tam giác MBE cân.

b) Chứng minh rằng $\widehat{EBH}=\widehat{ACM}$

c) Chứng minh rằng $EB\mathrm{\perp }BC$

Lời giải chi tiết

a)Xét $\mathrm{\Delta }$BHE và $\mathrm{\Delta }$BHM có :

BH là cạnh chung

EH = HM (do M đối xứng E qua H)

$\widehat{BHE}=\widehat{BHM}={90}^o$

$\Rightarrow$$\mathrm{\Delta }$BHE = $\mathrm{\Delta }$BHM (c-g-c)

$\Rightarrow$BM = BE (cạnh tương ứng)

và $\widehat{EBH}=\widehat{MBH}$(góc tương ứng) (1)

$\Rightarrow$$\mathrm{\Delta }$BEM cân tại B (2 cạnh bên bằng nhau)

b)Xét $\mathrm{\Delta }$BHM vuông tại H $\Rightarrow \widehat{BMH}+\widehat{MBH}={90}^o$

Xét $\mathrm{\Delta }$AMC vuông tại A $\Rightarrow \widehat{AMC}+\widehat{MCA}={90}^o$

Mà $\widehat{HMB}=\widehat{AMC}$(2 góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{MCA}=\widehat{MBH}={90}^o-\widehat{AMC}={90}^o-\widehat{HMB}$(2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{EBH}=\widehat{ACM}$

c)Vì $\widehat{BCM}=\widehat{ACM}$ (do CM là phân giác góc C)

$\Rightarrow \widehat{EBH}=\widehat{BCM}$(cùng bằng $\widehat{AMC}$) (3)

Xét $\mathrm{\Delta }$EHB vuông tại H có $\widehat{EBH}+\widehat{BEH}={90}^o$(4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow \widehat{BCM}+\widehat{BEH}={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{EBC}={90}^o\Rightarrow EB\mathrm{\perp }BC$