Giải Bài 5 trang 84 SGK Toán 7 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\)

b) Kẻ \(MI \bot AH\)(I ∈ AH), gọi K là giao điểm của AH và BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Lời giải chi tiết

a) Ta xét tam giác BMC cân tại M nên \(\widehat {MBC} = \widehat {MCB}\)

Nên \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC} = {90^o} - \widehat {MBC} = {90^o} - \widehat {MBC}\)

b) Ta chứng minh I là trung điểm của AK do \(\Delta MAI = \Delta MKI\)(g-c-g)

Lời giải :

a)      Xét tam giác BMC cân tại M (Do M thuộc đường trung trực của BC nên MB = MC) có : \(\widehat {MBC} = \widehat {MCB}\)(góc tương ứng)

Mà \(\widehat {BMN} = {90^o} - \widehat {MBC}\)và \(\widehat {HAC} = {90^o} - \widehat {BCM}\)

\( \Rightarrow \)\(\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\)

b)      Ta có MN⫽AH (do cùng vuông góc với BC)

\( \Rightarrow \widehat {AKM} = \widehat {KMN}\)(2 góc so le trong)

Mà \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\)( chứng minh a)

\( \Rightarrow \widehat {KAM} = \widehat {AKM}\)( do cùng =\(\widehat {BMN}\))

Xét \(\Delta MIA\) và \(\Delta MIK\)có :

IM cạnh chung

\(\widehat {KAM} = \widehat {AKM}\)

\(\widehat {AIM} = \widehat {MIK} = {90^o}\)

\( \Rightarrow \Delta MIA = \Delta MIK\)(cạnh góc vuông-góc nhọn)

\( \Rightarrow \)AI = IK (cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \)I là trung điểm AK