Đề bài
Cho 4 điểm A, B, C, D như hình 4.40 trong đó AB = DC. Chứng minh rằng:
a) AC = BD
b) \(AD\parallel BC\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Chứng minh \(\Delta ABC = \Delta DCB\left( {ch - cgv} \right)\)
b)
- Chứng minh \(\widehat {ABD} = \widehat {DCA}\)
- Chứng minh: \(\Delta ABD = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)\)
- Chứng minh 2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau \(\widehat {ADB} = \widehat {DBC}\).
Lời giải chi tiết
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta DCB\) có:
\(\widehat {BAC} = \widehat {CDB} = {90^0}\)
AB = DC (gt)
BC: Cạnh chung
\( \Rightarrow \Delta ABC = \Delta DCB\left( {ch - cgv} \right)\)
\(\Rightarrow AC = DB\) (2 cạnh tương ứng)
b)
Ta có: \(\Delta ABC = \Delta DCB\left( {cmt} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {ACB} = \widehat {DBC}\\\widehat {ABC} = \widehat {DCB}\end{array} \right.\) ( cặp góc tương ứng)
Lại có:\(\widehat {ABD} = \widehat {ABC} - \widehat {DBC}\\\widehat {DCA} = \widehat {DCB} - \widehat {ACB}\)
\(\Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {DCA}\)
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACD\) có:
BA = CD (gt)
BD = CA
\(\widehat {ABD} = \widehat {DCA}\left( {cmt} \right)\)
\(\Rightarrow \Delta ABD = \Delta ACD\left( {c - g - c} \right)\)
\(\Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {DAC}\) (2 góc tương ứng)
Nếu gọi E là giao điểm của AC và BD thì ta có:
\(\begin{array}{l}\widehat {ADB} = \dfrac{{\widehat {ADB} + \widehat {DAC}}}{2} = \dfrac{{\widehat {ADE} + \widehat {DAE}}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {AED}}}{2} = \dfrac{{{{180}^0} - \widehat {BEC}}}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\widehat {EBC} + \widehat {ECB}}}{2} = \dfrac{{\widehat {ACB} + \widehat {DBC}}}{2} = \widehat {DBC}\end{array}\)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
Nên \(AD// BC\). ( Dấu hiệu nhận biết 2 đường thẳng song song)
English
French
Spanish
Russian