Đề bài
a) Cho P là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh rằng:
AB + AC > PB + PC
b) Cho M là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh rằng:
\(\dfrac{1}{2}\left( {AB + BC + CA} \right) < MA + MB + MC < AB + BC + CA\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a)
- AB + AC = AB + AN + NC = (AB + AN) + NC
-Áp dụng các bất đẳng thức tam giác: tam giác ABN, tam giác PNC.
b)
-Chứng minh: \(MA + MB + MC > \dfrac{{AB + BC + CA}}{2}\)(áp dụng bđt tam giác ABM, MBC, MAC)
-Chứng minh:
M là điểm nằm trong tam giác ABC:
AB + AC > MB + MC
CA + CB > MA + MB
BA + BC > MA + MC
Lời giải chi tiết
a)
P là điểm nằm trong tam giác ABC, đường thẳng BP cắt cạnh AC tại N
Ta có:
AB + AC = AB + AN + NC = (AB + AN) + NC (1)
Xét tam giác ABN: AB + AN > BN (Bất đẳng thức tam giác)
=>AB + AN > BP + PN (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AB + AC > BP + (PN + NC) > BP + PC (Bất đẳng thức tam giác PNC)
b)
Ta có:
MA + MB > AB (bất đẳng thức trong tam giác ABM)
MB + MC > BC (bất đẳng thức trong tam giác MBC)
MC + MA > CA (bất đẳng thức trong tam giác MAC)
Cộng vế trái với vế trái, vế phải với vế phải:
2(MA + MB + MC) > AB + BC + CA
\( \Rightarrow MA + MB + MC > \dfrac{{AB + BC + CA}}{2}\) (1)
Mặt khác theo a)
M là điểm nằm trong tam giác ABC:
AB + AC > MB + MC
CA + CB > MA + MB
BA + BC > MA + MC
Cộng VT với VT, VP với VP:
2(AB + BC + CA) > 2(MA + MB + MC)
=>AB + BC + CA > MA + MB + MC (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\dfrac{1}{2}\left( {AB + BC + CA} \right) < MA + MB + MC < AB + BC + CA\)
English
French
Spanish
Russian