Giải Bài 9.24 trang 60 sách bài tập toán 7 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác đều ABC. Lấy điểm N nằm khác phía với M đối với đường thẳng AC sao cho \(\widehat {CAN} = \widehat {BAM}\) và AN = AM.

Chứng minh:

a) Tam giác AMN là tam giác đều

b) \(\Delta MAB = \Delta NAC\)

c) MN = MA, NC = MB

Lời giải chi tiết

a)

Tam giác ABC là tam giác đều nên: \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^0}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\widehat {MAN} = \widehat {MAC} + \widehat {CAN} = \widehat {MAC} + \widehat {BAM}\left( {do\,\,\widehat {CAN} = \widehat {BAM}} \right)\\ \Rightarrow \widehat {MAN} = \widehat {BAC} = {60^0}\end{array}\)

Xét tam giác AMN có: AM = AN (gt)

\( \Rightarrow \Delta AMN\) cân tại A

Mà \(\widehat {MAN} = {60^0} \Rightarrow \Delta ABC\) là tam giác đều.

b)

Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta NAC\) có:

AB = AC (gt)

AM = AN (gt)

\(\widehat {MAB} = \widehat {NAC}\)(gt)

\( \Rightarrow \)\(\Delta MAB\)= \(\Delta NAC\) (c – g – c)

c)

Tam giác AMN đều (cm ý a)

\( \Rightarrow \)MN = MA

\(\Delta MAB\)= \(\Delta NAC\) (cm ý b)

\( \Rightarrow MB = NC\)(cạnh tương ứng)