Đề bài
Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB, AC lần lượt lấy các điểm D và E sao cho AD = AB và AE = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DE.
Chứng minh:
a) ∆ABC = ∆ADE;
b) DE = BC và DE song song với BC;
c) ∆AEN = ∆ACM;
d) M, A, N thẳng hàng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xét các điều kiện về cạnh và góc để chứng minh ∆ABC = ∆ADE theo trường hợp cạnh – góc – cạnh từ đó suy ra các góc và cạnh tương ứng bằng nhau tương ứng bằng nhau nên DE = BC và DE song song với BC.
- Xét các điều kiện về cạnh và góc đề chứng minh ∆AEN = ∆ACM theo trường hợp cạnh – góc – cạnh từ đó chứng minh \(\widehat {NAM} = {180^o}\) suy ra M, A, N thẳng hàng.
Lời giải chi tiết
a) Xét ΔABC và ΔADE có:
AB = AD (giả thiết),
\(\widehat {BAC} = \widehat {DA{\rm{E}}}\) (hai góc đối đỉnh),
AC = AE (giả thiết).
Do đó ΔABC = ∆ADE (c.g.c).
Vậy ΔABC = ∆ADE.
b) Vì ∆ABC = ∆ADE (chứng minh câu a)
Suy ra BC = DE (hai cạnh tương ứng), \(\widehat {ACB} = \widehat {AED}\) (hai góc tương ứng).
Mặt khác \(\widehat {ACB},\widehat {AED}\) là hai góc ở vị trí so le trong.
Suy ra DE // BC.
Vậy DE = BC và DE song song với BC.
c) Ta có: \(EN = \frac{{DE}}{2};MC = \frac{{BC}}{2};DE = BC\) nên EN = MC
Xét ∆AEN và ∆ACM có:
AE = AC (giả thiết),
\(\widehat {NEA} = \widehat {MCA}\) (do \(\widehat {AED} = \widehat {ACB}\))
EN = CM (chứng minh trên),
Suy ra ∆AEN = ∆ACM (c.g.c)
Vậy ∆AEN = ∆ACM.
d) Do ∆AEN = ∆ACM (chứng minh câu c).
Nên \(\widehat {NAE} = \widehat {MAC}\) (hai góc tương ứng)
Ta có: \(\widehat {NAM} = \widehat {NAE} + \widehat {EAM} = \widehat {MAC} + \widehat {EAM}\)
Mà \(\widehat {MAC} + \widehat {EAM} = \widehat {EAC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)
Do đó \(\widehat {NAM} = {180^o}\)
Suy ra M, A, N thẳng hàng
Vậy M, A, N thẳng hàng.
English
French
Spanish
Russian