Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm BC; ME vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với AC tại F. Chứng minh:
a) AM là trung trực của đoạn thẳng BC;
b) ME = MF và AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng tam giác Abc cân tại A suy ra AM là đường trung trực của BC.
- Chứng minh: A, M thuộc đường trung trực của EF.
Suy ra ME = MF bà AM là đường trung trực của đường thẳng EF.
Lời giải chi tiết
a) Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC (hai cạnh bên).
Suy ra A thuộc đường trung trực của BC.
Lại có M là trung điểm của BC.
Nên AM là đường trung trực của BC.
Vậy AM là trung trực của đoạn thẳng BC.
b) Vì tam giác ABC cân tại A nên \(\hat B = \hat C\) (hai góc ở đáy).
Xét ∆EBM và ∆FCM có:
\(\widehat {BEM} = \widehat {CFM}\left( { = 90^\circ } \right)\)
BM = CM (do M là trung điểm của BC),
\(\hat B = \hat C\) (chứng minh trên)
Do đó ∆EBM = ∆FCM (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra ME = MF, BE = CF (các cặp cạnh tương ứng).
Do đó M thuộc đường trung trực của EF (1)
Ta có AB = AE + EB, AC = AF + FC.
Mà AB = AC, BE = CF nên AE = AF.
Suy ra A thuộc đường trung trực của EF (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của EF.
Vậy ME = MF và AM là đường trung trực của EF.
English
French
Spanish
Russian