Giải Bài 90 trang 95 sách bài tập toán 7 - Cánh diều

Đề bài

Cho tam giác ABC cân ở A có \(\widehat {BAC} = 120^\circ \). Đường trung trực của các cạnh AB và AC cắt nhau ở I và cắt cạnh BC lần lượt tại D, E (Hình 56).

a) Chứng minh điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

b) Đường tròn tâm I bán kính IA đi qua những điểm nào?

c) Tính số đo các góc của tam giác IBC.

Lời giải chi tiết

a) Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của hai đường trung trực d, d’ với AC, AB.

•Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, \(\hat B = \hat C\).

Vì Q là trung điểm của AB nên AQ = QB = \(\frac{1}{2}\)AB.

Vì P là trung điểm của AC nên AP = PC = \(\frac{1}{2}\)AC.

Mà AB = AC nên AQ = BQ = AP = CP.

• Xét ∆AQI và ∆API có:

\(\widehat {AQI} = \widehat {API}\left( { = 90^\circ } \right)\)

AI là cạnh chung,

AQ = AP (chứng minh trên)

Do đó ∆AQI= ∆API (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Do đó QI = PI (hai cạnh tương ứng).

• Xét ∆BQD và ∆CPE có:

\(\widehat {BQ{\rm{D}}} = \widehat {CPE}\left( { = 90^\circ } \right)\),

\(\hat B = \hat C\) (chứng minh trên),

BQ = CP (chứng minh trên)

Do đó ∆BQD = ∆CPE (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra QD = PE (hai cạnh tương ứng).

• Ta có: QI = QD + DI và PI = PE + EI.

Mà QI = PI và QD = PE (chứng minh trên)

Do đó DI = EI nên điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

Vậy điểm I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng DE.

b) Vì I nằm trên đường trung trực của AB nên IA = IB.

Vì I nằm trên đường trung trực của AC nên IA = IC.

Suy ra IA = IB = IC

Nên đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C

Vậy đường tròn tâm I bán kính IA đi qua các điểm A, B, C.

c) Vì ∆AQI= ∆API (chứng minh câu a)

Nên \(\widehat {QAI} = \widehat {PAI}\) (hai góc tương ứng)

Do đó AI là tia phân giác của góc BAC và \(\widehat {BAI} = \widehat {CAI} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.120^\circ  = 60^\circ \)

Xét tam giác ABI có IA = IB (chứng minh câu b) nên tam giác ABI cân tại I.

Lại có \(\widehat {BAI} = 60^\circ \) nên tam giác ABI là tam giác đều.

Do đó IA = IB = AB.

Mà AB = AC, IA = IB = IC nên IA = IB = IC = AB = AC.

Xét ∆BAC và ∆BIC có:

AB = IB (chứng minh trên),

AC = IC (chứng minh trên),

BC là cạnh chung

Do đó ∆BAC = ∆BIC (c.c.c)

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {IBC},\widehat {BAC} = \widehat {BIC}\widehat {,ACB} = \widehat {ICB}\)  (các cặp góc tương ứng)

Xét ∆ABC có \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {BAC} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác).

Mà \(\widehat {BAC} = 120^\circ \) (giả thiết) và \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (do ∆ABCcân tại A).

Suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{{180^\circ  - \widehat {BAC}}}{2} = \frac{{180^\circ  - 120^\circ }}{2} = 30^\circ \)

Do đó \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB} = 30^\circ ,\widehat {BIC} = 120^\circ \)

Vậy \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB} = 30^\circ ,\widehat {BIC} = 120^\circ \).