Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Vẽ BE vuông góc với CD tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BE; K là hình chiếu của I trên BC.
a) Chứng minh ba điểm D, I, K thẳng hàng.
b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để I là trọng tâm của tam giác BCD.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh: DI ⊥ BC và IK ⊥ BC do đó DI đi qua K nên ba điểm D, I, K thẳng hàng.
- Chứng minh: tam giác BCD là tam giác đều do đó \(\widehat {DBC} = 60^\circ \) hay \(\widehat {ABC} = 60^\circ \)từ đó uy ra điều kiện của tam giác ABC để I cũng là trọng tâm của tam giác BCD là tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat {ABC} = 60^\circ \).
Lời giải chi tiết
a) Xét tam giác BCD có I là giao điểm của hai đường cao CA và BE nên I là trực tâm của tam giác DBC.
Suy ra DI ⊥ BC.
Mặt khác, IK ⊥ BC (giả thiết).
Do đó đường cao DI đi qua K nên ba điểm D, I, K thẳng hàng.
Vậy ba điểm D, I, K thẳng hàng.
b) Xét ∆CDA và ∆CBA có:
\(\widehat {CAD} = \widehat {CAB}\left( { = {{90}^o}} \right)\),
CA là cạnh chung,
AD = AB (giả thiết)
Do đó ∆CDA = ∆CBA (hai cạnh góc vuông)
Suy ra CD = CB (hai cạnh tương ứng) (1)
Tam giác BCD có I là trọng tâm của tam giác nên BE là đường trung tuyến của tam giác.
Do đó CE = DE.
Chứng minh tương tự như trên ta cũng có ∆BDE = ∆BCE (hai cạnh góc vuông)
Suy ra BD = BC (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) ta có BC = CD = DB nên tam giác BCD là tam giác đều.
Do đó \(\widehat {DBC} = 60^\circ \) hay \(\widehat {ABC} = 60^\circ \)
Vậy điều kiện của tam giác ABC để I cũng là trọng tâm của tam giác BCD là tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat {ABC} = 60^\circ \)
English
French
Spanish
Russian