Giải bài 9.44 trang 111 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=5cm, AC=4cm. Gọi AH, HD lần lượt là các đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC và đỉnh H của tam giác HAB
a) Chứng minh rằng ΔHDA ∽ ΔAHC 

b) Tính độ dài các đoạn thẳng HA, HB, HC, HD

Lời giải chi tiết

a) Có AB ⊥ AC, HD ⊥ AB

=> HD // AC

=> $\widehat{DHA}=\widehat{HAC}$

- Xét tam giác vuông HDA (vuông tại D) và tam giác vuông AHC (vuông tại H) có: $\widehat{DHA}=\widehat{HAC}$

=> ΔHDA ∽ ΔAHC 

b) Xét tam giác ABC có: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

mà AB=5cm, AC=4cm

=> $BC=\sqrt{41}$

- Có AH.BC=AB.AC

=> $AH=\frac{20\sqrt{41}}{41}$

=> $H{B}^2=A{B}^2-A{H}^2$ (áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông BHA)

=> $HB=\frac{25\sqrt{41}}{41}$

=> $HC=\frac{16\sqrt{41}}{41}$

- Xét tam giác vuông BDH và tam giác vuông BAC có: HD // AC

=> ΔBDH ∽ ΔBAC 

=> $\frac{BH}{BC}=\frac{DH}{AC}$

=> $H\mathrm{D}=\frac{100}{41}$