Giải bài 11 trang 136 SGK Toán 8 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng

a) ΔBIC \(\backsim\) ΔEIF

b) \(F{B^2} = FI.FC\)

c) Cho biết AB = 6cm, BC = 3 cm. Tính EF

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác ABC là tam giác cân

=> Hai đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến

=> EF là đường trung bình của tam giác ABC

=> EF // BC

=> \(\widehat {IBC} = \widehat {IEF}{;^{}}\widehat {ICB} = \widehat {{\rm{IFE}}}\)(hai góc so le trong) 

=> ΔBIC \(\backsim\) ΔEIF (g.g)

b) Vì tam giác ABC cân tại A

=> \(\widehat {ABE} = \widehat {EBC} = \widehat {ACF} = \widehat {FCB}\)

Xét tam giác FBI và tam giác FCB có góc F chung, $\widehat{FBI}=\widehat{FCB}

=> ΔFBI \(\backsim\) ΔFCB (g.g)

=> \(\frac{{FB}}{{FC}} = \frac{{FI}}{{FB}}\)

=> \(F{B^2} = FI.FC\)

c) Ta có EF // BC (chứng minh trên). Do đó:

\( \frac{BC}{EF} = \frac{AB}{AF} \Rightarrow \frac{ (AF + FB)}{AF} = 1 + \frac{BC}{AB}=1+ \frac{3}{6} = \frac{3}{2} \)

Từ đó suy ra \( EF = 3 : \frac{3}{2} = 2 \) (cm)