Giải mục 2 trang 28 SGK Toán 8 tập 1 – Chân trời sáng tạo

HĐ3

Xét hai phân thức \(M = \dfrac{x}{y}\) và \(N = \dfrac{{{x^2} + x}}{{xy + y}}\) 

a) Tính giá trị của các phân thức trên khi \(x = 3\), \(y = 2\) và khi \(x =  - 1\), \(y = 5\).

Nêu nhận xét về giá trị của \(M\) và \(N\) khi cho \(x\) và \(y\) nhận những giá trị nào đó (\(y \ne 0\) và \(xy - y \ne 0\)).

b) Nhân tử thức của phân thức này với mẫu thức của phân thức kia, rồi so sánh hai đa thức nhận được.

Phương pháp giải:

a) Tìm điều kiện xác định của phân thức \(M\), \(N\)

Tính giá trị của phân thức \(M\), \(N\)

Nêu nhận xét

b) Sử dụng quy tắc nhân đa thức rồi so sánh kết quả nhận được.

Lời giải chi tiết:

a) Điều kiện xác định của phân thức \(M\): \(y \ne 0\)

Điều kiện xác định của phân thức \(N\): \(xy + y \ne 0\) hay \(xy \ne  - y\)

Khi \(x = 3\), \(y = 2\) (thoả mãn điều kiện xác định), ta có:

\(M = \dfrac{3}{2}\)

\(N = \dfrac{{{3^2} + 3}}{{3.2 + 2}} = \dfrac{{9 + 3}}{{6 + 2}} = \dfrac{{12}}{8} = \dfrac{3}{2}\)

Vậy \(M = N = \dfrac{3}{2}\) khi \(x = 3\), \(y = 2\)

Khi \(x =  - 1\), \(y = 5\) (thỏa mãn điều kiện xác định của \(M\)) ta có:

\(M = \dfrac{{ - 1}}{5}\)

Vậy \(M = \dfrac{{ - 1}}{5}\) khi \(x =  - 1\), \(y = 5\)

Khi \(x =  - 1\), \(y = 5\) thì \(xy + y = \left( { - 1} \right).5 + 5 = 0\) nên không thỏa mãn điều kiện xác định của \(N\). Vậy giá trị của phân thức \(N\) tại \(x =  - 1\), \(y = 5\) không xác định.

b) Ta có:

\(x.\left( {xy + y} \right) = {x^2}y + xy\)

\(\left( {{x^2} + x} \right).y = {x^2}y + xy\)

Vậy \(x\left( {xy + y} \right) = \left( {{x^2} + x} \right)y\)

Thực hành 3

Mỗi cặp phân thức sau đây có bằng nhau không? Tại sao?

a) \(\dfrac{{x{y^2}}}{{xy + y}}\) và \(\dfrac{{xy}}{{x + 1}}\)                                            

b) \(\dfrac{{xy - y}}{x}\) và \(\dfrac{{xy - x}}{y}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức: \(\dfrac{A}{B}\) \( = \dfrac{C}{D}\)  nếu \(AD = BC\)

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(x{y^2}.\left( {x + 1} \right) = {x^2}{y^2} + x{y^2}\)

\(\left( {xy + y} \right).xy = {x^2}{y^2} + x{y^2}\)

Do đó \(x{y^2}.\left( {x + 1} \right) = \left( {xy + y} \right).xy\)

Vậy \(\dfrac{{x{y^2}}}{{xy + y}}\) \( = \)\(\dfrac{{xy}}{{x + 1}}\)            

b) Ta có:

\(\left( {xy - y} \right).y = x{y^2} - {y^2}\)

\(x.\left( {xy - x} \right) = {x^2}y - {x^2}\)

Suy ra: \(\left( {xy - y} \right).y \ne x.\left( {xy - x} \right)\)

Vậy hai phân thức \(\dfrac{{xy - y}}{x}\) và \(\dfrac{{xy - x}}{y}\) không bằng nhau