Giải bài 12 trang 89 SGK Toán 8 tập 1– Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình hình hành $ABCD$ có $AD=2AB$. Từ $C$ vẽ $CE$ vuông góc với $AB$ tại $E$. Nối $E$ với trung điểm $M$ của $AD$. Từ $M$ vẽ $MF$ vuông góc với $CE$ tại $F$, $MF$ cắt $BC$ tại $N$.

a) Tứ giác $MNCD$ là hình gì?

b) Chứng minh tam giác $EMC$ cân tại $M$

c) Chứng minh rằng $\widehat{BAD}=2\widehat{AEM}$

Hướng dẫn:

a) Chứng minh $EN=NC=NB=$ $\frac{1}{2}$ $BC$

b) Chứng minh $\widehat{AEM}=\widehat{EMN}=\widehat{NMC}=\widehat{MCD}=\frac{1}{2}\widehat{NCD}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$MN\mathrm{\perp }CE$ (gt)

$AB\mathrm{\perp }CE$ (gt)

Suy ra $MN$ // $AB$

$MN$Mà $AB$ // $CD$ (do $ABCD$ là hình bình hành) nên $MN$

 // $CD$

Xét tứ giác $MNCD$ ta có:

$MN$ // $CD$ (cmt)

$MD$ // $CN$ (do $AD$ // $BC$)

Suy ra $MNCD$ là hình bình hành

Lại có:

 $AD=2AB$ (gt);    

$AD=2MD$ (do $M$ là trung điểm của $AD$)

$AB=CD$ (do $ABCD$ là hình bình hành)

Suy ra $MD=CD$

Hình bình hành $MNCD$ có $MD=CD$ (cmt) nên là hình thoi

b) Vì $MNCD$ là hình thoi nên $MD=CD=NC=MN=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$ (do $AD=BD$)

Do $NC=\frac{1}{2}BC$ nên $N$ là trung điểm của $BC$

Xét $\mathrm{\Delta }EBC$ vuông tại $E$ có $EN$ là trung tuyến nên $EN=\frac{1}{2}BC$

Suy ra $EN=NB=NC=\frac{1}{2}BC$

Suy ra $\mathrm{\Delta }NEC$ cân tại $N$

Mà $NF$ là đường cao (do $MF\mathrm{\perp }EC$)

Suy ra $NF$ cũng là trung tuyến, phân giác, trung trực của $\mathrm{\Delta }NEC$

Suy ra $F$ là trung điểm $EC$

Xét $\mathrm{\Delta }MEC$ có $MF$ là đường cao đồng thời là trung tuyến

Suy ra $\mathrm{\Delta }EMC$ cân tại $M$

c) Vì $AB$ // $MN$ (cmt)

Suy ra $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{E}\mathrm{M}}=\widehat{\mathrm{E}\mathrm{M}\mathrm{N}}$ (so le trong)

Mà $\widehat{\mathrm{E}\mathrm{M}\mathrm{N}}=\widehat{\mathrm{N}\mathrm{M}\mathrm{C}}$ (do $MF$ là phân giác)

$\widehat{\mathrm{N}\mathrm{M}\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{D}}$ (do $MN$ // $CD$)

Suy ra $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{E}\mathrm{M}}=\widehat{\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{D}}$

Mà $\widehat{\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{D}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}}$ (do $MNCD$ là hình thoi)

Và $\widehat{\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D}}=\widehat{\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{D}}$ (do $ABCD$ là hình bình hành)

Suy ra $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{E}\mathrm{M}}=\frac{1}{2}\widehat{\mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{D}}$

Suy ra $\widehat{BAD}=2\widehat{AEM}$