Giải bài 9 trang 89 SGK Toán 8 tập 1– Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Gọi $H$, $D$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $AB$

a) Chứng minh rằng tứ giác $ADHC$ là hình thang

b) Gọi $E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $D$. Chứng minh rằng tứ giác $AHBE$ là hình chữ nhật

c) Tia $CD$ cắt $AH$ tại $M$ và cắt $BE$ tại $N$. Chứng minh rằng tứ giác $AMBN$ là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Vì $\mathrm{\Delta }ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}}$ và $AB=AC$

Vì $\mathrm{\Delta }ABC$ cân tại $A$, có $AH$ là trung tuyến (gt)

Suy ra $AH$ là đường cao

Suy ra $AH\mathrm{\perp }BC$

Suy ra $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{H}\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{A}\mathrm{H}\mathrm{C}}={90}^{\circ }$

Xét $\mathrm{\Delta }AHB$ vuông tại $H$ ta có: $HD$ là trung tuyến

Suy ra $HD=\frac{1}{2}AB$

Mà $DA=DB=\frac{1}{2}AB$ (do $D$ là trung điểm $AB$)

Suy ra $DA=DB=HD$

Suy ra $\mathrm{\Delta }DHB$ cân tại $D$

Suy ra $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{D}\mathrm{H}\mathrm{B}}$

Mà $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}}$ (cmt)

Suy ra $\widehat{\mathrm{D}\mathrm{H}\mathrm{B}}=\widehat{\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}}$

Mà hai góc ở vị trí đồng vị

Suy ra $DH$ // $AC$

Suy ra $ADHC$ là hình thang

b) Vì $E$ đối xứng với $H$ qua $D$ (gt)

Suy ra $D$ là trung điểm của $HE$

Xét tứ giác $AHBE$ ta có:

Hai đường chéo $HE$ và $AB$ cắt nhau tại trung điểm $D$

Suy ra $AHBE$ là hình bình hành

Mà $\widehat{\mathrm{A}\mathrm{H}\mathrm{B}}={90}^{\circ }$ (cmt)

Suy ra $AHBE$ là hình chữ nhật

c) Vì $AHBE$ là hình chữ nhật (cmt)

Suy ra $AH$ // $BE$ và $AH=BE$

Xét $\mathrm{\Delta }DEN$ và $\mathrm{\Delta }DHM$ ta có:

$\widehat{\mathrm{N}\mathrm{E}\mathrm{D}}=\widehat{\mathrm{D}\mathrm{H}\mathrm{M}}$ (do $BE$ // $AH$)

$DE=DH$ (do $D$ là trung điểm của $HE$)

$\widehat{\mathrm{E}\mathrm{D}\mathrm{N}}=\widehat{\mathrm{M}\mathrm{D}\mathrm{H}}$ (đối đỉnh)

Suy ra $\mathrm{\Delta }DEN=\mathrm{\Delta }DHM$ (g-c-g)

Suy ra $EN=MH$ (hai cạnh tương ứng)

Mà $BE=AH$ (cmt)

Suy ra $BE-EN=AH-MH$

Suy ra $NB=AM$

Mà $NB$ // $AM$ (do $EB$ // $AH$)

Suy ra $AMBN$ là hình bình hành