Giải bài 2 trang 104 SGK Toán 8 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Người ta ghép ba hình tam giác đều với độ dài cạnh là a với vị trí như Hình 31.

a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng

b) Chứng minh tứ giác ACDE là hình thang cân.

c) Tính diện tích của tứ giác ACDE theo a.

Lời giải chi tiết

a, Ta có: \(\widehat {ABE} + \widehat {EBD} + \widehat {DBC} = {180^0}\)

Suy ra 3 điểm A, B, C thẳng hàng

b, Do:

\(\begin{array}{l}\widehat {BDE} = \widehat {DBC} = {60^0} \Rightarrow ED//BC\left( 1 \right)\\\widehat {BED} = \widehat {EBA} = {60^0} \Rightarrow ED//AB\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1), (2) suy ra: ED//AC suy ra tứ giác ABCD là hình thang

Mà: \(\widehat {EAC} = \widehat {DCA} = {60^0}\) suy ra hình thang ABCD là hình thang cân

c, Gọi BH là đường cao của tam giác BDE. Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BHD vuông tại H, ta có:

\(B{D^2} = B{H^2} + H{D^2} \Rightarrow B{H^2} = B{D^2} - H{D^2} = {a^2} - \frac{{{a^2}}}{4} = a\sqrt {\frac{3}{4}} \)

AC = a + a = 2a

Diện tích của tứ giác ABCD là: \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}.BH.(ED + AC) = \frac{1}{2}.a\sqrt {\frac{3}{4}} .(2a + a) = \frac{{3{a^2}}}{2}\sqrt {\frac{3}{4}} \)