Giải mục 1 trang 39, 40 SGK Toán 8 - Cùng khám phá

Hoạt động 1

Cho hai phân thức \(\frac{1}{x}\) và \(\frac{1}{{x + 1}}\).

a) Tìm đa thức thích hợp cho mỗi ô ?

\(\frac{1}{x} = \frac{?}{{x\left( {x + 1} \right)}};\)

\(\frac{1}{{x + 1}} = \frac{?}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\)

b) Em có nhận xét gì về mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức trong câu a?

Phương pháp giải:

a) Ta nhân cả tử và mẫu của phân thức này với mẫu của phân thức kia.

b) Dựa vào bài làm ý a.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \(\frac{1}{x} = \frac{{\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}\)

\(\frac{1}{{x + 1}} = \frac{x}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\)

b) Mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức trong câu a đều bằng \(x\left( {x + 1} \right)\)và chính là tích mẫu thức ở vế phải của hai đẳng thức.

Luyện tập 1

Tìm một mẫu thức chung của hai phân thức \(\frac{{2x + 3}}{{27{x^2} - 9x}}\) và \(\frac{{x - 4}}{{36{x^3} - 12{x^2}}}\).

Phương pháp giải:

Bước 1: Ta phân tích mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử.

Bước 2: Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích của các nhân tử bằng số của các mẫu thức ở bước 1

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy \(27{x^2} - 9x = 9x\left( {3x - 1} \right)\) và \(36{x^3} - 12{x^2} = 12{x^2}\left( {3x - 1} \right)\)

Vậy mẫu thức chung của hai phân thức có thể là \(36{x^2}\left( {3x - 1} \right)\)

Hoạt động 2

Muốn quy đồng hai phân thức \(\frac{{2x + 3}}{{27{x^2} - 9x}}\) và \(\frac{{x - 4}}{{36{x^3} - 12{x^2}}}\) nêu trong luyện tập 1 thì cần nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với đa thức nào?

Phương pháp giải:

Ta tìm mẫu thức chung:

Bước 1: Ta phân tích mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử.

Bước 2: Mẫu thức chung cần tìm là một tích mà các nhân tử được chọn như sau:

- Nhân tử bằng số của mẫu thức chung là tích của các nhân tử bằng số của các mẫu thức ở bước 1

- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức, ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(27{x^2} - 9x = 9x\left( {3x - 1} \right)\); \(36{x^3} - 12{x^2} = 12{x^2}\left( {3x - 1} \right)\)

Vậy mẫu thức chung là: \(36{x^2}\left( {3x - 1} \right)\)

Để quy đồng hai phân thức \(\frac{{2x + 3}}{{27{x^2} - 9x}}\) và \(\frac{{x - 4}}{{36{x^3} - 12{x^2}}}\) ta cần nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{2x + 3}}{{27{x^2} - 9x}}\)với \(4x\) và nhân cả tử và mẫu của phân thức \(\frac{{x - 4}}{{36{x^3} - 12{x^2}}}\)với \(3\)

Luyện tập 2

Quy đồng mẫu thức hai phân thức \(\frac{{x + 1}}{{4{x^3} - 8{x^2}}}\) và \(\frac{{2x - 3}}{{6x{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

Phương pháp giải:

Ta tìm mẫu thức chung

Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức;

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Hai phân thức có mẫu thức chung là \(12{x^2}{\left( {x - 2} \right)^2}\)

Ta có \(\frac{{x + 1}}{{4{x^3} - 8{x^2}}} = \frac{{x + 1}}{{4{x^2}\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{\left( {x + 1} \right).3.\left( {x - 2} \right)}}{{4{x^2}\left( {x - 2} \right).3.\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{3\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{12{x^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

\(\frac{{2x - 3}}{{6x{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2x - 3} \right).2x}}{{6x{{\left( {x - 2} \right)}^2}.2x}} = \frac{{2x\left( {2x - 3} \right)}}{{12{x^2}{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)