Giải bài 3.25 trang 42 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình vuông ABCD. Với điểm M nằm giữa C và D, kẻ tia phân giác của góc DAM; nó cắt CD ở N. Đường thẳng qua N vuông góc với AM cắt BC ở P. Tính số đo của góc NAP.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình vuông nên $\widehat{ADN}=\widehat{ABP}={90}^0$ và $AB=AD$

Gọi Q là giao điểm của NP và AM.

Vì $NP\mathrm{\perp }AM$ tại Q nên $\widehat{AQN}=\widehat{AQP}={90}^0$

Tam giác AND và tam giác ANQ có:

$\widehat{ADN}=\widehat{AQN}={90}^0$, AN chung, $\widehat{DAN}=\widehat{QAN}$ (do AN là tia phân giác của góc DAM)

Do đó, $\mathrm{\Delta }ADN=\mathrm{\Delta }AQN\left(ch-gn\right)$ nên $AD=AQ$

Mà $AB=AD$ (cmt) nên $AQ=AB$

Tam giác AQP và tam giác ABP có:

$\widehat{AQP}=\widehat{ABP}={90}^0$, AP chung, $AQ=AB$ (cmt)

Do đó, $\mathrm{\Delta }AQP=\mathrm{\Delta }ABP\left(ch-cgv\right)$, suy ra: $\widehat{QAP}=\widehat{PAB}$

Ta có: $\widehat{QAP}+\widehat{PAB}+\widehat{DAN}+\widehat{QAN}={90}^0$

Nên $2\left(\widehat{QAP}+\widehat{QAN}\right)={90}^0$, tức là $\widehat{NAP}={45}^0$