Giải bài 6.23 trang 10 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho biểu thức $P=\frac{2x-6}{x^3-3x^2-x+3}+\frac{2x^2}{1-x^2}-\frac{6}{x-3}\left(x\ne 3,x\ne 1,x\ne -1\right)$

a) Rút gọn phân thức $\frac{2x-6}{x^3-3x^2-x+3}$.

b) Chứng tỏ rằng có thể viết $P=a+\frac{b}{x-3}$ trong đó a, b là những hằng số.

c) Tìm tập hợp các giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên.

Lời giải chi tiết

a) $\frac{2x-6}{x^3-3x^2-x+3}=\frac{2x-6}{x^2\left(x-3\right)-\left(x-3\right)}=\frac{2\left(x-3\right)}{\left(x^2-1\right)\left(x-3\right)}=\frac{2}{x^2-1}$

b) $P=\frac{2x-6}{x^3-3x^2-x+3}+\frac{2x^2}{1-x^2}-\frac{6}{x-3}=\frac{2}{x^2-1}-\frac{2x^2}{x^2-1}-\frac{6}{x-3}$

$=\frac{2-2x^2}{x^2-1}-\frac{6}{x-3}=\frac{-2\left(x^2-1\right)}{x^2-1}-\frac{6}{x-3}=-2-\frac{6}{x-3}$

Vậy viết P dưới dạng $P=a+\frac{b}{x-3}$, trong đó a, b là những hằng số.

c) Để P có giá trị nguyên thì $\frac{-6}{x-3}$ có giá trị nguyên, khi đó $x-3$ là ước của 6.

Do đó, $\left(x-3\right)\in$Ư(6)$=\left\{1;-1;2;-2;3;-3;6;-6\right\}$

Ta có bảng:

Vậy $x\in \left\{4;5;2;6;0;9;-3\right\}$