Giải bài 9.25 trang 56 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho hình thang ABCD (AB//CD). Biết rằng AD cắt BC tại E, AC cắt BD tại F.

a) Chứng minh rằng: $\Delta EAB\backsim \Delta EDC,\Delta FAB\backsim \Delta FCD$.

b) Lấy hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, E, F thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác EDC có: AB//CD nên $\Delta EAB\backsim \Delta EDC$

Vì AB//CD nên \(\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\) hay \(\widehat {FAB} = \widehat {FCD}\)

Tam giác FAB và tam giác FCD có:

\(\widehat {BFA} = \widehat {CFD}\) (hai góc đối đỉnh), \(\widehat {FAB} = \widehat {FCD}\) (cmt)

Do đó, $\Delta FAB\backsim \Delta FCD\left( g-g \right)$

b) Vì $\Delta EAB\backsim \Delta EDC$(cmt) nên \(\frac{{EA}}{{ED}} = \frac{{AB}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{DN}}\)

Tam giác EAM và tam giác EDN có:

\(\frac{{EA}}{{ED}} = \frac{{AM}}{{DN}}\) (cmt), \(\widehat {EAM} = \widehat {EDN}\) (AM//DN, hai góc đồng vị). Do đó, $\Delta EAM\backsim \Delta EDN\left( c-g-c \right)$

Suy ra: \(\widehat {AEM} = \widehat {DEN}\). Do đó, tia EM trùng với tia EN hay 3 điểm M, E, N thẳng hàng (1).

Vì  nên \(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{AM}}{{CN}}\)

Hai tam giác FAM và tam giác FCN có:

\(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{AM}}{{CN}}\left( {cmt} \right)\), \(\widehat {FAM} = \widehat {FCN}\) (AM//CN, hai góc so le trong). Do đó, $\Delta FAM\backsim \Delta FCN\left( c-g-c \right)$ nên \(\widehat {AFM} = \widehat {CFN}\). Do đó, tia FM và tia FN là hai tia đối nhau. Suy ra, F, M, N thẳng hàng (2).

Từ (1) và (2) ta có: 4 điểm M, N, E, F thẳng hàng