Giải bài 9.65 trang 69 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A $\left(AC>AB\right)$, có AD là đường phân giác của góc A (D thuộc BC). Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt cạnh AC tại E và cắt tia BA tại F. Chứng minh rằng:

a) $\Delta BDF\backsim \Delta EDC$

b) $BD=DE$

Lời giải chi tiết

a) Vì FD vuông góc với CB tại D nên $\widehat{FDB}=\widehat{EDC}={90}^0$.

Tam giác FBD và tam giác CED có:

$\widehat{FDB}=\widehat{EDC}={90}^0$, $\hat{F}=\hat{C}\left(={90}^0-\hat{B}\right)$

Do đó, $\Delta BDF\backsim \Delta EDC\left( g-g \right)$

b)  Tam giác ABC và tam giác DEC có:

$\widehat{BAC}=\widehat{EDC}={90}^0,\hat{C}chung$

Do đó, $\Delta ABC\backsim \Delta DEC\left( g-g \right)$. Suy ra, $\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DC}$

Vì AD là phân giác của góc BAC trong tam giác ABC nên $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$, suy ra $\frac{AC}{DC}=\frac{AB}{BD}$

Do đó: $\frac{AB}{DE}=\frac{AB}{BD}$. Suy ra $BD=DE$