Giải bài 10 trang 82 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

2024-09-14 08:48:27

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) $E F = A H$

b) $A M ⊥ E F$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu: tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật, từ đó suy ra $E F = A H$

b) Chứng minh $\hat{M A B} + \hat{D E A} = 90^{0}$ để suy ra $A M ⊥ E F$

Lời giải chi tiết

a) Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\hat{B A C} = 90^{0}$

Vì E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC nên $H E ⊥ A B, H F ⊥ A C$

Do đó, $\hat{H E B} = \hat{H E A} = \hat{H F A} = \hat{H F C} = 90^{0}$

Tứ giác AFHE có: $\hat{B A C} = \hat{H E A} = \hat{H F A} = 90^{0}$ nên tứ giác AFHE là hình chữ nhật. Do đó, $A H = F E$

b) Vì tứ giác AFHE là hình chữ nhật nên $\hat{F H E} = 90^{0}$

Vì AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC vuông tại A nên $A M = M B = M C = \frac{1}{2} B C$

Tam giác AMB có: $A M = M B$ nên tam giác AMB cân tại M. Do đó, $\hat{M A B} = \hat{B}$

Lại có: $\hat{B} = \hat{D H E} (= 90^{0} - \hat{H E B})$ nên $\hat{M A B} = \hat{D H E}$ (1)

Gọi D là giao điểm của hai đường chéo FE và AH của hình chữ nhật AFHE. Do đó, $D H = D E = D F = D A$

Tam giác DAE có: $D A = D E$ nên tam giác DAE cân tại D, suy ra $\hat{D A E} = \hat{D E A}$

Mà AE//FH (do AFHE là hình chữ nhật) nên $\hat{D H F} = \hat{D A E}$ (so le trong)

Do đó, $\hat{D E A} = \hat{D H F}$ (2)

Lại có: $\hat{D H F} + \hat{D H E} = \hat{F H E} = 90^{0}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: $\hat{M A B} + \hat{D E A} = 90^{0}$ . Suy ra: $A M ⊥ E F$

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

Chúng tôi sử dụng AI và sức mạnh của cộng đồng để giải quyết câu hỏi của bạn

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"