Đề bài
Chứng minh biểu thức \(B = {x^5} - 15{x^2} - x + 5\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm số hạng và đặt nhân tử chung
Lời giải chi tiết
Trước hết, ta chứng minh \({x^5} - x \vdots 5\)
Ta có: \({x^5} - x = x\left( {{x^4} - 1} \right) = x\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\)
Nếu \(x = 5k\) thì \(x \vdots 5\)
Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^5} - x \vdots 5\)
Nếu \(x = 5k + 1\) thì \(x - 1 = 5k \vdots 5\)
Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} - x \vdots 5\)
Nếu \(x = 5k + 2\) thì \({x^2} + 1 = {\left( {5k + 2} \right)^2} + 1 = 25{k^2} + 20k + 5 \vdots 5\)
Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} - x \vdots 5\)
Nếu \(x = 5k + 3\) thì \({x^2} + 1 = {\left( {5k + 3} \right)^2} + 1 = 25{k^2} + 30k + 10 \vdots 5\)
Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} - x \vdots 5\)
Nếu \(x = 5k + 4\) thì \(x + 1 = 5k + 5 \vdots 5\)
Khi đó \(x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) \vdots 5\) hay \({x^2} - x \vdots 5\)
Do đó \({x^5} - x \vdots 5\) với mọi số nguyên \(x\)
Ta có: \({x^5} - x \vdots 5;15{x^2} \vdots 5;5 \vdots 5\) nên \({x^5} - 15{x^2} - x + 5 \vdots 5\) với mọi số nguyên\(x\).
Vậy \(B\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên \(x\).
English
French
Spanish
Russian