Giải bài 28 trang 100 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

2024-09-14 08:56:00

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) nhọn có các đường cao \(BD,CE\). Tia phân giác của các góc \(ACE,ABD\) cắt nhau tại \(O\) và cắt \(AB,AC\) lần lượt tại \(M,N\). Tia \(BN\) cắt \(CE\) tại \(K\), tia \(CM\) cắt \(BD\) tại \(H\). Chứng minh:

a)     \(BN \bot CM\)

b)    Tứ giác \(MNHK\) là hình thoi.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào dấu hiệu nhận biết của hình bình hành và hình thoi để xác định.

Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi

Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.

Lời giải chi tiết

a)     Do tam giác \(ABD\) vuông tại \(D\) và tam giác \(ACE\) vuông tại \(E\) nên \(\widehat {ABD} + \widehat A = \widehat {ACE} + \widehat A = 90^\circ \). Suy ra \(\widehat {ABD} = \widehat {ACE}\).

Mà \(BN\) và \(CM\) lần lượt là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\) và \(\widehat {ACE}\), suy ra \(\widehat {ABN} = \widehat {DBN} = \widehat {ACM} = \widehat {ECM}\).

Do tam giác \(CEM\) vuông tại \(E\) nên \(\widehat {ECM} + \widehat {EMC} = 90^\circ \)

Suy ra \(\widehat {ABN} + \widehat {EMC} = 90^\circ \) hay \(\widehat {MBO} + \widehat {BMO} = 90^\circ \).

Do đó ta tính được \(\widehat {BOM} = 90^\circ \). Vậy \(BN \bot CM\).

b)    \(\Delta BMO = \Delta BHO\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra \(OM = OH\)

\(\Delta CNO = \Delta CKO\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra \(ON = OK\).

Tứ giác \(MNHK\) có hai đường chéo \(MH\) và \(NK\) cắt nhau tại trung điểm \(O\) của mỗi đường nên \(MNHK\) là hình bình hành.

Hình bình hành \(MNHK\) có \(MH \bot NK\) nên \(MNHK\) là hình thoi.

Bạn muốn hỏi điều gì?
Đặt Câu Hỏi

Chúng tôi sử dụng AI và sức mạnh của cộng đồng để giải quyết câu hỏi của bạn

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"