Phân thức đối của phân thức \(\frac{3}{{x + 1}}\) là:
- A \( - \frac{3}{{x + 1}}\).
- B \(\frac{{x + 1}}{3}\).
- C \(\frac{{ - 3}}{{x - 1}}\).
- D \(\frac{{ - 3}}{{ - x + 1}}\).
Đáp án : A
Phân thức đối của phân thức \(\frac{A}{B}\) là \( - \frac{A}{B}\).
Phân thức đối của phân thức \(\frac{3}{{x + 1}}\) là \( - \frac{3}{{x + 1}}\).
Biểu thức \(A = \frac{2}{{x + 3}} + \frac{3}{{x + 1}}\) xác định khi:
- A \(x \ne - 3,x \ne - 1\).
- B \(x \ne - 3,x \ne 1\).
- C \(x \ne 3,x \ne - 1\).
- D \(x \ne 3,x \ne 1\).
Đáp án : A
Để phân thức xác định thì mẫu thức khác 0.
Phân thức \(\frac{2}{{x + 3}}\) xác định khi \(x + 3 \ne 0\) hay \(x \ne - 3\).
Phân thức \(\frac{3}{{x + 1}}\) xác định khi \(x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne - 1\).
\( \Rightarrow \) Biểu thức A xác định khi \(x \ne - 3,x \ne - 1\).
Rút gọn phân thức \(\frac{{3xy + 3}}{{9y + 3}}\) ta được:
- A \(\frac{x}{3}\).
- B \(\frac{{x + 1}}{4}\).
- C \(\frac{{xy + 1}}{{3y + 1}}\).
- D \(\frac{{xy + 1}}{{9y + 1}}\).
Đáp án : C
Thực hiện rút gọn phân thức theo 2 bước:
+ Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần).
+ Bước 2: Tìm nhân tử chung của tử và mẫu rồi chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.
Ta có: \(\frac{{3xy + 3}}{{9y + 3}} = \frac{{3\left( {xy + 1} \right)}}{{3\left( {3y + 1} \right)}} = \frac{{xy + 1}}{{3y + 1}}\).
Giá trị của x để phân thức \(\frac{{5x - 2}}{{{x^2} + 2x + 1}} = 0\) là:
- A \(x = 0\).
- B \(x = \frac{2}{5}\).
- C \(x = \frac{5}{2}\).
- D \(x = - 1\).
Đáp án : B
Biến đổi phân thức để tìm x.
Để phân thức \(\frac{{5x - 2}}{{{x^2} + 2x + 1}}\) xác định thì \({x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} \ne 0 \Rightarrow x \ne - 1\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{5x - 2}}{{{x^2} + 2x + 1}} = 0\\5x - 2 = 0\\x = \frac{2}{5}\left( {TM} \right)\end{array}\)
Kết quả phép tính \(\left( {\frac{{ - 20x}}{{3{y^2}}}} \right):\left( { - \frac{{4{x^3}}}{{5y}}} \right)\) là
- A \(\frac{{25}}{{3{x^2}y}}\).
- B \(\frac{{25y}}{{3{x^2}}}\).
- C \(\frac{{16{x^3}}}{{3{y^3}}}\).
- D \(\frac{{16}}{{3{x^2}y}}\).
Đáp án : A
Sử dụng quy tắc chia hai phân thức.
Ta có: \(\left( {\frac{{ - 20x}}{{3{y^2}}}} \right):\left( { - \frac{{4{x^3}}}{{5y}}} \right) = \frac{{ - 4.5x}}{{3{y^2}}}.\frac{{ - 5y}}{{4{x^3}}} = \frac{{25}}{{3{x^2}y}}\).
Cho hình vẽ sau, biết MN // PQ, số đo cạnh OP là:
- A \(x = 3,3\).
- B \(x = 3,4\).
- C \(x = 3,5\).
- D \(x = 3,6\).
Đáp án : D
Dựa vào định lí hai tam giác đồng dạng.
Ta có: MN // PQ nên $\Delta OMN\backsim \Delta OQP$ (định lí hai tam giác đồng dạng)
\( \Rightarrow \frac{{ON}}{{OP}} = \frac{{MN}}{{PQ}} \Rightarrow \frac{2}{x} = \frac{3}{{5,1}} \Rightarrow x = 2:\frac{3}{{5,1}} = 3,4\).
Cho tam giác ABC vuông tại A, tính cạnh BC nếu biết \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4}\) và \(AB + AC = 14cm\)
- A 5cm.
- B 6cm.
- C 8cm.
- D 10cm.
Đáp án : D
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tính AB, AC.
Áp dụng định lí Pythagore để tính BC.
Ta có:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = \frac{{AB + AC}}{{3 + 4}} = \frac{{14}}{7} = 2\)
\( \Rightarrow AB = 2.3 = 6\left( {cm} \right);AC = 2.4 = 8\left( {cm} \right)\).
Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\)
\( \Rightarrow BC = 10cm\).
Bóng của một cột điện trên mặt đất dài 6m. Cùng lúc đó, một cột đèn giao thông cao 3m có bóng dài 2m. Tính chiều cao của cột điện.
- A \(BC = 4m\).
- B \(BC = 6m\).
- C \(BC = 9m\).
- D \(BC = 12m\).
Đáp án : C
Sử dụng các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông.
Vì cột đèn giao thông và cột điện vuông góc với mặt đất nên \(\widehat E = \widehat C = {90^0}\).
Xét \(\Delta ADE\) và \(\Delta ABC\) có:
\(\widehat E = \widehat C\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\widehat A\) chung
$\Rightarrow \Delta ADE\backsim \Delta ABC\left( g.g \right)$
\( \Rightarrow \frac{{DE}}{{AE}} = \frac{{BC}}{{AC}}\)
\(\frac{3}{2} = \frac{{BC}}{6} \Rightarrow BC = 6.\frac{3}{2} = 9\left( m \right)\).
Cho biểu thức \(M = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right):\frac{2}{{x + 2}}\)
a) Tìm điều kiện xác định của M.
b) Rút gọn M.
c) Tìm x để \(M = 1\).
a) Tìm điều kiện cho từng phân thức trong M.
b) Sử dụng các phép tính để rút gọn M
c) Thay M = 1 để tìm x.
a) Để M xác định thì:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\x + 2 \ne 0\end{array} \right.\) hay \(x \ne \pm 2\)
Vậy điều kiện xác định của M là \(x \ne \pm 2\).
b) Ta có: \(M = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right):\frac{2}{{x + 2}}\)
\(\begin{array}{l}M = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right).\frac{{x + 2}}{2}\\M = \frac{1}{{x - 2}}.\frac{{x + 2}}{2} - \frac{1}{{x + 2}}.\frac{{x + 2}}{2}\\M = \frac{{x + 2}}{{2\left( {x - 2} \right)}} - \frac{1}{2}\\M = \frac{{x + 2 - \left( {x - 2} \right)}}{{2\left( {x - 2} \right)}}\\M = \frac{{x + 2 - x + 2}}{{2\left( {x - 2} \right)}}\\M = \frac{4}{{2\left( {x - 2} \right)}}\\M = \frac{2}{{x - 2}}\end{array}\)
Vậy \(M = \frac{2}{{x - 2}}\).
c) Thay M = 1, ta được:
\(\begin{array}{l}\frac{2}{{x - 2}} = 1\\x - 2 = 2\\x = 4\end{array}\)
Vậy x = 4 thì M = 1.
Tùng đạp xe từ nhà tới câu lạc bộ bóng đá dài 5km với tốc độ x (km/h). Lượt về thuận chiều gió nên vận tốc nhanh hơn lượt đi 3km/h.
a) Viết biểu thức biểu thị tổng thời gian cả hai lượt đi và về. (kí hiệu là T)
b) Viết biểu thức biểu thị hiệu thời gian lượt đi đối với lượt về. (kí hiệu là t)
c) Tính T và t với x = 12.
Viết phân thức biểu thị thời gian của lượt đi, biểu thức biểu thị thời gian lượt về theo công thức: \(t = \frac{S}{v}\).
a,b) Từ hai phân thức trên biết biểu thức biểu thị tổng và hiệu.
c) Thay x = 12 vào T và t để tính.
Phân thức biểu thị thời gian của lượt đi là: \(\frac{5}{x}\) (giờ)
Phân thức biểu thị thời gian của lượt về là: \(\frac{5}{{x + 3}}\) (giờ)
a) Biểu thức biểu thị tổng thời gian cả hai lượt đi và về là: \(T = \frac{5}{x} + \frac{5}{{x + 3}}\) (giờ)
b) Biểu thức biểu thị hiệu thời gian lượt đi đối với lượt về là: \(t = \frac{5}{x} - \frac{5}{{x + 3}}\) (giờ)
c) Thay x = 12 vào biểu thức T và t, ta được:
\(T = \frac{5}{{12}} + \frac{5}{{12 + 3}} = \frac{5}{{12}} + \frac{5}{{15}} = \frac{3}{4}\) (giờ)
\(t = \frac{5}{{12}} - \frac{5}{{12 + 3}} = \frac{5}{{12}} - \frac{5}{{15}} = \frac{1}{{12}}\) (giờ)
Một cột đèn cao 10m chiếu sáng một cây xanh như hình dưới. Cây cách cột đèn 2m và có bóng trải dài dưới mặt đất là 4,8m. Tìm chiều cao của cây xanh đó (làm tròn đến mét)
Áp dụng Định lí hai tam giác đồng dạng để chứng minh $\Delta ABM\backsim \Delta CDM$.
Từ đó suy ra tỉ số các cặp cạnh tương ứng để tính chiều cao của cây xanh.
Vì cột đèn và cây xanh đều vuông góc với mặt đất nên ta có \(\widehat A = \widehat C = {90^0}\)
\( \Rightarrow \) AB // CD
$\Rightarrow \Delta ABM\backsim \Delta CDM$ (Định lí hai tam giác đồng dạng)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{AB}}{{AM}} = \frac{{CD}}{{CM}}\\\frac{{AB}}{{4,8}} = \frac{{10}}{{2 + 4,8}} = \frac{{10}}{{6,8}}\\ \Rightarrow AB = 4,8.\frac{{10}}{{6,8}} \approx 7\left( m \right)\end{array}\)
Vậy chiều cao của cây xanh đó là khoảng 7m.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC). Gọi I là trung điểm của AB. Kẻ IN vuông góc với BC tại N (N thuộc BC).
a) Chứng minh $\Delta ACB\backsim \Delta NIB$. Từ đó suy ra \(BA.BI = BC.BN\).
b) Giả sử AC = 6cm, BC = 10cm. Tính BN.
c) Chứng minh \(\widehat {IAN} = \widehat {ICN}\).
d) Chứng minh \(A{C^2} = N{C^2} - N{B^2}\).
a) Chứng minh $\Delta ACB\backsim \Delta NIB$ (g.g) suy ra tỉ số bằng nhau của các cặp cạnh tương ứng.
b) Dựa vào định lí Pythagore để tính AB. Sử dụng tỉ số bằng nhau của phần a để tính BN.
c) Chứng minh $\Delta ABN\backsim \Delta CBI$ (c.g.c) để chứng minh \(\widehat {IAN} = \widehat {ICN}\).
d) Kẻ \(AH \bot BC\) tại H. Chứng minh \(A{C^2} = CH.CB\).
Chứng minh BN = NH.
Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để chứng minh \(A{C^2} = CH.CB = N{C^2} - N{B^2}\).
Chú ý: Độ dài các cạnh chỉ sử dụng cho ý b nên không được tính độ dài cạnh để chứng minh.
a) Xét \(\Delta ACB\) và \(\Delta NIB\) có:
\(\widehat B\) chung
\(\widehat A = \widehat N\left( { = {{90}^0}} \right)\)
$\Rightarrow \Delta ACB\backsim \Delta NIB\left( g.g \right)$ (đpcm)
\( \Rightarrow \frac{{BA}}{{BN}} = \frac{{BC}}{{BI}}\)
\( \Rightarrow BA.BI = BC.BN\) (đpcm)
b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64\\ \Rightarrow AB = 8\left( {cm} \right)\end{array}\)
I là trung điểm của AB nên AI = IB = \(\frac{1}{2}\)AB = 4cm
Ta có: \(BA.BI = BC.BN\)
\(\begin{array}{l}8.4 = 10.BN\\ \Rightarrow BN = \frac{{8.4}}{{10}} = 3,2\left( {cm} \right)\end{array}\)
c) Xét \(\Delta ABN\) và \(\Delta CBI\) có:
\(\frac{{BA}}{{BN}} = \frac{{BC}}{{BI}}\left( {cmt} \right)\)
\(\widehat B\) chung
$\Rightarrow \Delta ABN\backsim \Delta CBI\left( c.g.c \right)$
\( \Rightarrow \widehat {IAN} = \widehat {ICN}\) (đpcm)
d) Kẻ \(AH \bot BC\) tại H.
Xét \(\Delta AHC\) và \(\Delta BAC\) có:
\(\widehat A = \widehat H\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\widehat C\) chung
$\Rightarrow \Delta AHC\backsim \Delta BAC\left( g.g \right)$
\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{CH}} = \frac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow A{C^2} = CH.BC\).
Vì \(IN \bot BC;AH \bot BC \Rightarrow IN//AH\)
Xét tam giác ABH có IN // AH, I là trung điểm của AB nên IN là đường trung bình của tam giác ABH.
\( \Rightarrow \) N là trung điểm của BH \( \Rightarrow BN = NH\).
Ta có: \(CH.CB\)\( = \left( {CN - NH} \right)\left( {CN + BN} \right)\)\( = \left( {CN - BN} \right)\left( {CN + BN} \right)\)\( = C{N^2} - B{N^2}\)
\( \Rightarrow A{C^2} = C{N^2} - B{N^2}\) (đpcm)
Chứng minh rằng nếu a, b, c khác nhau đôi một thì:
\(\frac{{b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{c - a}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{a - b}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = \frac{2}{{a - b}} + \frac{2}{{b - c}} + \frac{2}{{c - a}}\).
Áp dụng đẳng thức \(\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{{b - a}}{{ab}}\)
Xét phân thức \(\frac{{b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}\)\( = \frac{{a - c - a + b}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}\)\( = \frac{{a - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - \frac{{a - b}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}\)\( = \frac{1}{{a - b}} - \frac{1}{{a - c}}\).
Tương tự ta có: \(\frac{{c - a}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} = \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{{b - a}}\)
\(\frac{{a - b}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = \frac{1}{{c - a}} - \frac{1}{{c - b}}\)
\( \Rightarrow \frac{{b - c}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{c - a}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} + \frac{{a - b}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)
\( = \frac{1}{{a - b}} - \frac{1}{{a - c}} + \frac{1}{{b - c}} - \frac{1}{{b - a}} + \frac{1}{{c - a}} - \frac{1}{{c - b}}\)
\( = \frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{c - a}} + \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{a - b}} + \frac{1}{{c - a}} + \frac{1}{{b - c}}\)
\( = \frac{2}{{a - b}} + \frac{2}{{b - c}} + \frac{2}{{c - a}}\) (đpcm).
English
French
Spanish
Russian