Đề thi giữa kì 2 Toán 8 - Đề số 5 - Chân trời sáng tạo

Đường thẳng d: y = 2x + 1 có hệ số góc là 2.

Giao điểm của đường thẳng d với trục hoành là: 0 = -3x + 2 hay x = \(\frac{2}{3}\) => \(A\left( {\frac{2}{3};0} \right)\).

Giao điểm của đường thẳng d với trục tung là: y = -3.0 + 2 hay y = 2 => \(B\left( {0;2} \right)\).

Suy ra \(\left| {OA} \right| = \left| {\frac{2}{3}} \right| = \frac{2}{3};\left| {OB} \right| = \left| 2 \right| = 2\).

Vì tam giác OAB vuông tại O nên diện tích tam giác OAB là:

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{3}.2 = \frac{2}{3}\)(đvdt).

Giá trị \(f\left( 0 \right)\) là: \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{2}.0 + 5 = 5\).

Hàm số \(y = \left( {m - 3} \right)x + 7\) không là hàm số bậc nhất khi \(m - 3 = 0 \Rightarrow m = 3\).

Để hàm số có hệ số góc âm trên \(\mathbb{R}\) thì \(m + 3 < 0 \Leftrightarrow m <  - 3\). Trong các giá trị trên chỉ có -4 là thỏa mãn.

Quan sát đồ thị hàm số \(y =  - x + 5\), ta thấy đồ thị tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân tại O, khi đó \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA} = {45^0}\)\( \Rightarrow \) Góc tạo bởi đường thẳng  \(y =  - x + 5\) và trục Ox bằng \({45^0}\).

Ta có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC và MN = \(\frac{1}{2}\)BC. => MN // EF (E,F \( \in \) BC) nên A đúng.

Ta có ME \( \bot \) BC, NF \( \bot \) BC => ME // NF.

Tứ giác MNFE có MN // EF (E,F \( \in \) BC); ME // NF nên MNFE là hình bình hành.

=> MN = EF; ME = NF (cặp cạnh tương ứng) nên B và D đúng.

MN = ME không có đủ điều kiện để xác định nên C sai.

Ta có D, E, F là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC nên DE, EF và DF là đường trung bình của tam giác ABC => \(DE = \frac{1}{2}BC;EF = \frac{1}{2}AB;DF = \frac{1}{2}AC\).

=> Chu vi tam giác DEF là: DE + EF + DF = \(\frac{1}{2}\)BC + \(\frac{1}{2}\)AB + \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{1}{2}\)(BC + AB + AC) = \(\frac{1}{2}\).80 = 40(cm).

Do a // BC, áp dụng định lí Thales ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{AN}}{{NC}}\\\frac{x}{5} = \frac{4}{{10}}\\x = 2\end{array}\)

Vì ngôi nhà và cái cây cùng vuông góc với mặt đất nên chúng song song với nhau \( \Rightarrow AB//DE\).

Xét tam giác ABC có \(AB//DE\) nên ta có:

\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{EC}}\) (hệ quả của định lí Thales)

\( \Rightarrow AB = \frac{{DE}}{{EC}}.AC = \frac{2}{{2,5}}.\left( {4 + 2,5} \right) = 5,2\left( m \right)\)

Xét tam giác ABC có:

D là trung điểm của AB (AD = DB)

E là trung điểm của AC (AE = EC)

\( \Rightarrow DE\) là đường trung bình của tam giác ABC.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow DE = \frac{1}{2}\left( {2x - 1} \right)\\5 = x - \frac{1}{2}\\x = 5,5\end{array}\)

Ta có DK là tia phân giác của góc EDF nên \(\frac{{DE}}{{EK}} = \frac{{DF}}{{KF}} \Rightarrow KF = DF:\frac{{DE}}{{EK}} = 32:\frac{{24}}{{15}} = 20\).

a) Để \(\left( {{d_1}} \right)//\left( {{d_2}} \right)\) thì:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\frac{{m - 1}}{2} = m + 3\\ - m - 5 \ne  - 2m + 7\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m - 1 = 2m + 6\\m \ne 12\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m =  - 7\\m \ne 12\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy m = -7 thì \(\left( {{d_1}} \right)//\left( {{d_2}} \right)\).

b) Thay m = -7 vào \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\), ta được:

\(\left( {{d_1}} \right):y = \frac{{ - 7 - 1}}{2}x - \left( { - 7} \right) - 5 =  - 4x + 2\)

\(\left( {{d_2}} \right):y = \left( { - 7 + 3} \right)x - 2.\left( { - 7} \right) + 7 =  - 4x + 21\)

Vẽ \(\left( {{d_1}} \right):y =  - 4x + 2\)

+ Cho x = 0 thì y = -4.0 + 2 = 2. Ta được điểm A(0; 2).

+ Cho y = 0 thì 0 = -4x + 2 => x =\(\frac{1}{2}\). Ta được điểm \(B\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).

Đường thẳng AB chính là đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\).

Vẽ \(\left( {{d_2}} \right):y =  - 4x + 21\)

+ Cho x = 0 thì y = -4.0 + 21 = 21. Ta được điểm C(0; 21).

+ Cho y = 0 thì 0 = -4x + 21 => x =\(\frac{{21}}{4}\). Ta được điểm \(D\left( {\frac{{21}}{4};0} \right)\).

Đường thẳng CD chính là đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\).

Ta có \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) như sau:

a) Ta có: \(C = \frac{5}{9}(F - 32) \Leftrightarrow C = \frac{5}{9}F - \frac{{160}}{9}\) (*)

Hàm số \(C = \frac{5}{9}F - \frac{{160}}{9}\) (theo biến số F) có dạng \(y = ax + b\) với \(a = \frac{5}{9} \ne 0\), \(b =  - \frac{{160}}{9}\) nên \(C = \frac{5}{9}F - \frac{{160}}{9}\) là hàm số bậc nhất theo biến số \({\rm{F}}\).

b) Khi \({\rm{F}} = 30\), thế vào \(\left( * \right) \Rightarrow C = \frac{5}{9}.30 - \frac{{160}}{9} = - \frac{{10}}{9}\left( {^0{\rm{C}}} \right)\)

Khi \({\rm{F}} = 80\), thế vào \(\left( * \right) \Rightarrow C = \frac{5}{9}.80 - \frac{{160}}{9} = \frac{{80}}{3}\left( {^0{\rm{C}}} \right)\)

c) Khi \({\rm{C}} = - 10\left( {^0{\rm{C}}} \right)\), thế vào \(\left( * \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l} - 10 = \frac{5}{9} \cdot F - \frac{{160}}{9}\\\frac{5}{9} \cdot F =  - 10 + \frac{{160}}{9}\\\frac{5}{9} \cdot F = \frac{{70}}{9}\\F = \frac{{70}}{9}:\frac{5}{9}\\F = 14\end{array}\)

Gọi MN là thanh ngang; BC là độ rộng giữa hai bên thang.

MN nằm chính giữa thang nên M; N là trung điểm AB và AC.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Suy ra MN = \(\frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.80 = 40\,\,(cm)\).

Vậy người thợ đã làm thanh ngang đó dài 40 cm.

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}{S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}\left( {MN + PQ} \right).ME\\ \Rightarrow ME = \frac{{2{S_{MNPQ}}}}{{MN + PQ}} = \frac{{2.36}}{{4 + 8}} = 6\left( {cm} \right)\end{array}\)

b) Xét \(\Delta IPQ\) có MN // PQ nên \(\frac{{IP}}{{IM}} = \frac{{PQ}}{{MN}} \Rightarrow \frac{{IP}}{{IM}} = \frac{8}{4} = 2\) (hệ quả của định lí Thales)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{IP}}{{IP + IM}} = \frac{2}{{2 + 1}}\\ \Rightarrow \frac{{IP}}{{MP}} = \frac{2}{3}\end{array}\)

\( \Rightarrow IP = \frac{2}{3}MP\) (đpcm)

c) Kẻ \(IF \bot PQ\), mà \(ME \bot PQ\) \( \Rightarrow IF//ME\)

Do \(\Delta PME\) có \(IF//ME\) nên \(\frac{{IF}}{{ME}} = \frac{{IP}}{{MP}} = \frac{2}{3}\)

\( \Rightarrow IF = \frac{2}{3}ME \Rightarrow IF = \frac{2}{3}.6 = 4\left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta IPQ}} = \frac{{IF.PQ}}{2} = \frac{{4.8}}{2} = 16\left( {c{m^2}} \right)\)

Ta có: \(d \cap d'\) khi và chỉ khi \(m \ne 2\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng d và d’, ta có:

\(\begin{array}{l}mx - 2 = 2x + 1\\mx - 2x = 1 + 2\\\left( {m - 2} \right)x = 3\\x = \frac{3}{{m - 2}}\end{array}\)

Để hai đường thẳng d và d’ cắt nhau tại điểm có hoành độ là số nguyên thì \(x = \frac{3}{{m - 2}} \in \mathbb{Z}\) \( \Leftrightarrow 3 \vdots \left( {m - 2} \right)\) hay \(m - 3 \in \) Ư(3) \( = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\).

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy \(m \in \left\{ { - 1;1;3;5} \right\}\) thì hai đường thẳng d: y = mx -2; d’: y = 2x + 1 cắt nhau tại điểm có hoành độ là số nguyên.