Đề thi học kì 1 Toán 8 - Đề số 1 - Cánh diều

Ta có:

\(\begin{array}{l}4{x^2}y + 6{x^3}{y^2} - 10{x^2}y + 4{x^3}{y^2}\\ = \left( {4{x^2}y - 10{x^2}y} \right) + \left( {6{x^3}{y^2} + 4{x^3}{y^2}} \right)\\ = - 6{x^2}y + 10{x^3}{y^2}\end{array}\)

Thay x = y = -1 vào đa thức \(xy + 2{x^2}{y^2} - {x^4}y\) ta được

\(\begin{array}{l}\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + 2{\left( { - 1} \right)^2}.{\left( { - 1} \right)^3} - {\left( { - 1} \right)^4}\left( { - 1} \right)\\ = 1 - 2 + 1 = 0\end{array}\)

1. \(\frac{{14x{y^5}\left( {2x - 3y} \right)}}{{21{x^2}y{{\left( {2x - 3y} \right)}^2}}} = \frac{{2{y^4}}}{{3x\left( {2x - 3y} \right)}} \Rightarrow \)1 – b.
2. \(\;\frac{{{x^2} - \;2}}{{x{{(x - 1)}^2}}} + \;\frac{{2\; - \;x}}{{x{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2 + 2 - x}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - x}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{{x - 1}} \Rightarrow \) 2 – d.
3. \(\frac{{25{x^2}}}{{17{y^4}}}\;.\;\frac{{34{y^5}}}{{15{x^3}}} = \frac{{25{x^2}.34{y^5}}}{{17{y^4}.15{x^3}}} = \frac{{5.2y}}{{3x}} = \frac{{10y}}{{3y}} \Rightarrow \) 3 – a.
4. \(\frac{{{x^2} + \;8x\; + \;15}}{{{x^2} - \;9}} = \frac{{{x^2} + 3x + 5x + 15}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{x\left( {x + 3} \right) + 5\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x + 5}}{{x - 3}} \Rightarrow ... = x + 5 \Rightarrow \)4 – c.

Đáp án: 1 – b; 2 – d; 3 – a; 4 – c.

Ta có: AM = 2cm; BC = 4cm \( \Rightarrow AM = \frac{1}{2}BC\). Mà AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC nên AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC hay tam giác ABC vuông tại A.

- Nếu 4 góc trong tứ giác đều nhọn (nhỏ hơn \(90^0\)) => Tổng 4 góc < \(4.90^0\) = \(360^0\) => Vô lí vì tổng 4 góc trong tứ giác bằng \(360^0\).

- Nếu có 3 góc nhỏ hơn \(90^0\) ; 1 góc > \(90^0\) => Tổng 3 góc đó < 3.\(90^0\) = \(270^0\) => góc còn lại lớn hơn \(360^0- 270^0 = 90^0\) (thỏa mãn)

Vậy tứ giác có thể có nhiều nhất 3 góc nhọn.

Hình bình hành là một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên C đúng.

Giả sử tam giác ABC là tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 6cm và 8cm thì độ dài cạnh huyền BC là: \(BC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = 10\) (cm).

Theo công thức tính diện tích tam giác, ta có: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\)

=> AB.AC = AH.BC

6.8 = AH.10

48 = AH.10

AH = 48:10 = 4,8 (cm).

Xét hình chóp tứ giác đều S.ABCD có V = 100cm³, đường cao SH = 12cm.

Ta có \(V = \frac{1}{3}{S_d}.h \Rightarrow {S_d} = \frac{{3V}}{h}\)

\({S_d} = \frac{{3.100}}{{12}} = 25\).

Vì đáy hình chóp là hình vuông nên độ dài cạnh đáy là \(\sqrt {25}  = 5\left( {cm} \right)\).

Nửa chu vi đáy là: p = \(\frac{{5 + 5 + 5}}{2} = 7,5\) (cm)

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều đó là:

\({S_{xq}} = p.d = 7,5.6 = 45\) (cm\(^2\)).

Ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right) =  - {\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)^2} + 2 =  - \frac{1}{4} + 2 = \frac{7}{4}\\f\left( 0 \right) =  - {0^2} + 2 = 2\end{array}\)

Điểm Q thuộc trục tung nên có hoành độ bằng 0 và hình chiếu của điểm Q trên trục tung là -2 nên \(Q\left( {0; - 2} \right)\).

Số gạo ban đầu là 480 tấn.

Mỗi ngày của hàng bán được 20 tấn thì x ngày cửa hạng bán được 20.x (tấn).

=> Sau x ngày bán, cửa hàng còn lại: 480 – 20x (tấn).

Vậy ta có công thức biểu diễn y theo x là: y = 480 – 20x.

a) \(\frac{{{x^2} + 3xy + \;2{y^2}}}{{{x^3} + \;2{x^2}y - \;x{y^2} - \;2{y^3}}}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{{x^2} + xy + 2xy + 2{y^2}}}{{{x^3} + 2{x^2}y - x{y^2} - 2{y^3}}}\\ = \frac{{x\left( {x + y} \right) + 2y\left( {x + y} \right)}}{{{x^2}\left( {x + 2y} \right) - {y^2}\left( {x - 2y} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x + 2y} \right)\left( {x + y} \right)}}{{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)\left( {x + 2y} \right)}}\\ = \frac{{x + y}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\ = \frac{1}{{x - y}}\end{array}\)

Điều kiện để \(\frac{1}{{x - y}}\) xác định là \(x - y \ne 0 \Leftrightarrow x \ne y\).

Tại x = 5 và y = 3 (thỏa mãn điều kiện) thì giá trị của biểu thức \(\frac{1}{{x - y}}\) là: \(\frac{1}{{5 - 3}} = \frac{1}{2}\).

Vậy tại x = 5 và y = 3 thì giá trị của biểu thức \(\frac{{{x^2} + 3xy + \;2{y^2}}}{{{x^3} + \;2{x^2}y - \;x{y^2} - \;2{y^3}}}\) là \(\frac{1}{2}\).

b) Phân tích \(2x - 2y - {x^2} + 2xy - {y^2}\)thành nhân tử, ta được:

\(\begin{array}{l}2x - 2y - {x^2} + 2xy - {y^2}\\ = \left( {2x - 2y} \right) - \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right)\\ = 2\left( {x - y} \right) - {\left( {x - y} \right)^2}\\ = \left( {x - y} \right)\left( {2 - x + y} \right)\end{array}\)

a) Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{{x^2} + \;4x\; + \;4}}{{{x^3} + \;2{x^2} - 4x - 8}}\\ = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^2}\left( {x + 2} \right) - 4\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{1}{{x - 2}}\end{array}\)

b) Để A là số nguyên thì \(\frac{1}{{x - 2}} \in \mathbb{Z}\) thì \(x - 2 \in \) Ư(1) \( \Rightarrow x - 2 \in \left\{ { \pm 1} \right\}\).

Ta có: x – 2 = 1 \( \Rightarrow \) x = 3 (thỏa mãn điều kiện)

x – 2 = -1 \( \Rightarrow \) x = 1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy A là số nguyên khi \(x \in \left\{ {1;3} \right\}\).

a) Hình chiếu của điểm A trên trục hoành là -3 và trên trục tung là 1. Do đó tọa độ của điểm A là \(A\left( { - 3;1} \right)\).

Hình chiếu của điểm B trên trục hoành là -1 và trên trục tung là 1. Do đó tọa độ của điểm A là \(B\left( { - 1;1} \right)\).

Hình chiếu của điểm C trên trục hoành là -3 và trên trục tung là 3. Do đó tọa độ của điểm A là \(C\left( { - 3;3} \right)\).

Vậy tọa độ của các điểm là: \(A\left( { - 3;1} \right)\); \(B\left( { - 1;1} \right)\); \(C\left( { - 3;3} \right)\).

b) Quan sát hình vẽ, ta thấy

\(\left. \begin{array}{l}AB//Ox\\AC//Oy\\Ox \bot Oy\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot AC \Rightarrow \widehat A = {90^0}\)

Mà AB = AC (= 2)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại A.

c) Ta có: \(\Delta ABC\) vuông cân tại A nên để ABDC là hình vuông thì \(\widehat {ACD} = \widehat {ABD} = {90^0}\) và AB = BC = CD = DA hay \(AC \bot CD;AB \bot BD\).

Qua điểm C kẻ đường thẳng vuông góc với Oy.

Qua điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với Ox.

Hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm D.

CD cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.

BD cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -1.

=> Tọa độ điểm D là \(D\left( { - 1;3} \right)\).

Vậy để ABDC là hình vuông thì \(D\left( { - 1;3} \right)\).

1. Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có

BC² = AB² + AC² (Định lí Pythagore)        

BC² = 450² + 600²                                                       

BC² =  562500

=> BC = 750m         

Khoảng cách từ thành phố B đến trạm phát sóng là 750 m

2.

a) Ta có: AB = CM (\( = \frac{1}{2}\)CD) và AB // CM (M \( \in \) CD) nên ABCM là hình bình hành. (đpcm)

b) Ta có AM = BC (ABCM là hình bình hành)

Mà AD = BC (ABCD là hình thang cân)

=> AM = AD. (1)

Xét tam giác ADH và NDH có:

\(\left\{ \begin{array}{l}AH = NH\\\widehat {AHD} = \widehat {NHD} = {90^0}\\DH\,chung\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ADH = \Delta NDH(c.g.c)\)

\( \Rightarrow AD = DN\) (hai cạnh tương ứng). (2)

Tương tự, ta chứng minh được AM = MN. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra AM = MN = DN = AD => tứ giác AMND là hình thoi. (đpcm)

c) Khi AMND là hình vuông thì \(\widehat {ADN} = {90^0}\). Trong hình vuông AMND, đường chéo DM là tia phân giác của góc ADN nên \(\widehat {ADM} = \widehat {MDN} = \frac{{{{90}^0}}}{2} = {45^0}\).

Góc BAD và góc ADC là hai góc kề một cạnh bên của hình thang ABCD nên \(\widehat {BAD} + \widehat {ADC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BAD} = {180^0} - {45^0} = {135^0}\).

Mà ABCD là hình thang cân nên \(\widehat {BAD} = \widehat {ABC} = {135^0}\). (đpcm)

Ta có:

\(\begin{array}{l}5{x^2} + 5{y^2} + 8xy - 2x + 2y + 2 = 0\\\left( {4{x^2} + 8xy + 4{y^2}} \right) + ({x^2} - 2x + 1) + ({y^2} + 2y + 1) = 0\\4{\left( {x + y} \right)^2} + {\left( {x-1} \right)^2} + {(y + 1)^2} = 0\left( * \right)\end{array}\)

Vì \(4{\left( {x + y} \right)^2} \ge 0;{\left( {x-1} \right)^2} \ge 0;{(y + 1)^2} \ge \;0\) với mọi x, y

Nên (*) xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\x - 1 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - y\\x = 1\\y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = - 1\end{array} \right.\).

Thay x = 1 và y = -1 vào biểu thức M, ta được:

\(M = {(1 - 1)^{2017}} + {(1 - 2)^{2018}} + {( - 1 + 1)^{2019}} = {\left( { - 1} \right)^{2018}} = 1\) .

Vậy M = 1 .