Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình bậc nhất một ẩn?
- A \(1 - {x^2} = 0\).
- B \(2x - 5 = 0\).
- C \(\frac{2}{{x - 3}} + 1 = 0\).
- D \({x^3} - x + 2 = 0\).
Đáp án : B
Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0\).
Phương trình \(2x - 5 = 0\) có dạng \(ax + b = 0\) với \(a = 2\) nên ta chọn đáp án B.
Đáp án B.
Với \(m = - 1\) thì phương trình \(\left( {2{m^2} - 2} \right)x = m + 1\)
- A vô nghiệm.
- B vô số nghiệm.
- C có nghiệm duy nhất là \(x = m - 1\).
- D Có 1 nghiệm là \(x = \frac{1}{{m - 1}}\).
Đáp án : B
Thay m vào phương trình, đưa phương trình về dạng ax + b = 0 để giải.
Thay \(m = - 1\) vào phương trình \(\left( {2{m^2} - 2} \right)x = m + 1\), ta có:
\(\begin{array}{l}\left[ {2{{\left( { - 1} \right)}^2} - 2} \right]x = - 1 + 1\\\left( {2 - 2} \right)x = 0\end{array}\)
\(0.x = 0\) (luôn đúng).
Vậy phương trình có vô số nghiệm.
Đáp án B.
Phương trình \(4x - 2 = 0\) có nghiệm là
- A \(x = 2\).
- B \(x = 0\).
- C \(x = - 2\).
- D \(x = \frac{1}{2}\).
Đáp án : D
Giải phương trình có dạng \(ax + b = 0\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}4x - 2 = 0\\4x = 2\\x = \frac{1}{2}\end{array}\)
Đáp án D.
Nếu một vòi nước chảy đầy bể trong 5 giờ thì 1 giờ vòi nước đó chảy được bao nhiêu phần bể?
- A \(1\).
- B \(\frac{1}{4}\).
- C \(\frac{1}{5}\).
- D \(5\).
Đáp án : C
Coi bể nước bằng 1. Tính số phần bể mà vòi chảy được trong 1 giờ.
Coi bể nước là 1. Vì vòi nước chảy đầy bể trong 5 giờ nên trong 1 giờ vòi chảy được là:
\(1:5 = \frac{1}{5}\) (bể)
Đáp án C.
Một tam giác có độ dài các cạnh là \(x + 3\); \(x + 1\); \(x + 5\). Biểu thức biểu thị chu vi tam giác đó là
- A \(3x + 9\)
- B \(x + 9\)
- C \(3x - 9\)
- D \(3x + 16\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức tính chu vi tam giác để viết biểu thức.
Biểu thức biểu thị chu vi tam giác đó là:
\(x + 3 + x + 1 + x + 5 = 3x + 9\).
Đáp án A.
Năm nay chị 27 tuổi và tuổi em ít hơn tuổi chị 5 tuổi. Vậy năm sau tuổi em là
- A 21 tuổi
- B 22 tuổi
- C 23 tuổi
- D 24 tuổi
Đáp án : C
Gọi tuổi của em là x, biểu thị tuổi của chị theo tuổi của em và tính tuổi em năm sau.
Gọi tuổi của em là x (tuổi), \(x \in N*\).
Vì tuổi em ít hơn tuổi chị 5 tuổi nên x + 5 = 27
Giải phương trình ta được x = 27 – 5 = 22 (tuổi) (TM)
Vậy năm sau tuổi của em là: 22 + 1 = 23 tuổi.
Đáp án C.
Hãy chọn câu khẳng định đúng.
- A Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng.
- B Hai tam giác đồng dạng thì bằng nhau.
- C Hai tam giác cân luôn đồng dạng.
- D Hai tam giác vuông luôn đồng dạng.
Đáp án : A
Dựa vào kiến thức về hai tam giác đồng dạng.
Hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng nên ta chọn đáp án A.
Đáp án A.
$\Delta ABC\backsim \Delta DEF$ theo tỉ số đồng dạng k. Vậy k bằng tỉ số nào sau đây?
- A \(k = \frac{{AB}}{{BC}}\).
- B \(k = \frac{{AC}}{{DF}}\).
- C \(k = \frac{{DE}}{{AB}}\).
- D \(k = \frac{{DE}}{{DF}}\).
Đáp án : B
Xác định tỉ số giữa các cạnh tương ứng của hai tam giác.
$\Delta ABC\backsim \Delta DEF$ nên \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DF}} = \frac{{BC}}{{EF}} = k\).
Vậy \(k = \frac{{AC}}{{DF}}\).
Đáp án B.
Cho hình sau. Biết \(\Delta ABC,\Delta ADE\) là hai tam giác cân.
Chọn kết luận đúng trong các câu sau:
- A $\Delta ADE\backsim \Delta ABC\left( g.g \right)$ với $k=2$.
- B $\Delta ADE\backsim \Delta ABC\left( c.c.c \right)$ với $k=\frac{2}{3}$.
- C $\Delta ABC\backsim \Delta ADE\left( c.g.c \right)$ với $k=\frac{3}{2}$.
- D $\Delta ABC\backsim \Delta ADE\left( g.g \right)$ với $k=\frac{1}{2}$.
Đáp án : C
Chứng minh $\Delta ADE\backsim \Delta ABC$ theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Vì \(\Delta ABC,\Delta ADE\) cân nên \(AB = AC\); \(AD = AE\left( { = 6cm} \right)\).
Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta ADE\) có:
\(\widehat A\) chung
\(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AC}}{{AE}}\) (vì \(AB = AC;AD = AE\))
suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta ADE\left( c.g.c \right)$
suy ra \(k = \frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{AE + EC}}{{AE}} = \frac{{6 + 3}}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\).
Đáp án C.
Cho hình vẽ sau. Độ lớn x bằng bao nhiêu để hai tam giác đồng dạng?
- A \(x = 3\).
- B \(x = 4\).
- C \(x = \frac{5}{2}\).
- D \(x = \frac{3}{2}\).
Đáp án : B
Dựa vào các trường hợp đồng dạng của hai tam giác để tìm x.
Để hai tam giác đồng dạng thì \(\frac{2}{3} = \frac{x}{6}\) suy ra \(x = \frac{2}{3}.6 = 4\).
Đáp án B.
Cho hình dưới đây. Biết AB // DE. Chọn hệ thức sai trong các câu sau:
- A \(AB.EC = AC.DC\).
- B \(AB.DE = BC.DC\).
- C \(AC.DE = BC.EC\).
- D \(AB.AC = DE.DC\).
Đáp án : D
Dựa vào AB // DE suy ra \(\widehat {ABC} = \widehat {EDC}\).
Chứng minh $\Delta ABC\backsim \Delta CDE\left( g.g \right)$ suy ra tỉ số giữa các cặp cạnh tương ứng.
Vì AB // DE nên \(\widehat {ABC} = \widehat {EDC}\) (hai góc đồng vị)
Xẻ \(\Delta ABC\) và \(\Delta CDE\) có:
\(\widehat A = \widehat C\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\widehat {ABC} = \widehat {EDC}\) (cmt)
Suy ra $\Delta ABC\backsim \Delta CDE\left( g.g \right)$. Từ đó ta được:
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{CD}}{{CE}}\) suy ra \(AB.CE = AC.CD\). (A đúng)
\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{CD}}{{DE}}\) suy ra \(AB.DE = BC.CD\) (B đúng)
\(\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{CE}}{{DE}}\) suy ra \(AC.DE = CE.BC\) (C đúng)
Vậy D sai (vì không có tỉ lệ nào suy ra \(AB.AC = DE.DC\)).
Đáp án D.
Cặp hình đồng dạng trong hình dưới đây là:
- A Hình 1 và hình 2.
- B Hình 1 và hình 3.
- C Hình 2 và hình 3.
- D Không có hình nào đồng dạng.
Đáp án : A
Kiểm tra tỉ số các cặp cạnh của các hình trên.
Ta có: \(\frac{2}{{2,5}} = \frac{4}{5} \ne \frac{3}{6}\) nên hình 1 và hình 2 là hai hình đồng dạng
Đáp án A.
Giải các phương trình sau:
a) \(\frac{2}{3}x + 2\frac{1}{2} = 0\)
b) \(4 - 3x = 5\)
c) \(\frac{{7x - 1}}{6} = \frac{{16 - x}}{5} - 2x\)
Đưa phương trình về dạng ax + b = 0 để giải.
a) \(\frac{2}{3}x + 2\frac{1}{2} = 0\)
\(\begin{array}{l}\frac{2}{3}x + \frac{5}{2} = 0\\\frac{2}{3}x = - \frac{5}{2}\\x = - \frac{5}{2}:\frac{2}{3}\\x = - \frac{{15}}{4}\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = - \frac{{15}}{4}\).
b) \(4 - 3x = 5\)
\(\begin{array}{l} - 3x = 5 - 4\\ - 3x = 1\\x = \frac{{ - 1}}{3}\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{ - 1}}{3}\).
c) \(\frac{{7x - 1}}{6} = \frac{{16 - x}}{5} - 2x\)
\(\begin{array}{l}\frac{{5\left( {7x - 1} \right)}}{{5.6}} = \frac{{6\left( {16 - x} \right)}}{{6.5}} - \frac{{30.2x}}{{30}}\\5\left( {7x - 1} \right) = 6\left( {16 - x} \right) - 60x\\35x - 5 = 96 - 6x - 60x\\35x + 6x + 60x = 96 + 5\\101x = 101\\x = 1\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 1\)
Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Một xe tải và một xe con cùng khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B. Xe tải đi với vận tốc 30km/h, xe con đi với vận tốc 45km/h. Sau khi đi được \(\frac{3}{4}\) quãng đường AB, xe con tăng vận tốc 5km/h trên quãng đường còn lại thì đến B sớm hơn xe tải là 2 giờ 27 phút. Tính quãng đường AB.
Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
Gọi quãng đường AB là x (km) (x > 0).
Biểu diễn thời gian xe tải, xe con đi theo x và lập phương trình.
Giải phương trình và kiểm tra nghiệm.
Gọi quãng đường AB dài x (km) (x > 0).
Thời gian xe tải đi hết quãng đường AB là \(\frac{x}{{30}}\) (giờ).
\(\frac{3}{4}\) quãng đường AB là \(\frac{3}{4}x\) (km), khi đó thời gian ô tô con đi hết \(\frac{3}{4}\) quãng đường AB là:
\(\frac{3}{4}x:45 = \frac{x}{{60}}\) (giờ)
Vận tốc xe con sau khi tăng thêm 5km/h là:
45 + 5 = 50 (km/h)
Quãng đường còn lại là: \(1 - \frac{3}{4}x = \frac{x}{4}\) (km)
Thời gian xe con đi hết \(\frac{1}{4}\) quãng đường AB là:
\(\frac{x}{4}:50 = \frac{x}{{200}}\) (h)
Vì xe con đến B sớm hơn xe tải là 2 giờ 2 phút = \(\frac{{49}}{{20}}\)h nên ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\frac{x}{{30}} - \left( {\frac{x}{{60}} + \frac{x}{{200}}} \right) = \frac{{49}}{{20}}\\\frac{{20x}}{{600}} - \frac{{10x}}{{600}} - \frac{{3x}}{{600}} = \frac{{1470}}{{600}}\\\frac{{7x}}{{600}} = \frac{{1470}}{{600}}\\7x = 1470\\x = 210(TM)\end{array}\)
Vậy quãng đường AB dài 210km.
Tìm m để phương trình \(2\left( {x - 1} \right) - mx = 3\):
a) Vô nghiệm
b) Có nghiệm duy nhất
Biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng ax = b:
+ Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{b}{a}\).
Ta có:
\(2\left( {x - 1} \right) - mx = 3\)
\(\begin{array}{l}2x - 2 - mx = 3\\2x - mx = 3 + 2\\(2 - m)x = 5\end{array}\)
a) Để phương trình \(2\left( {x - 1} \right) - mx = 3\) vô nghiệm thì:
\(2 - m = 0\) suy ra \(m = 2\).
Vậy khi m = 2 thì phương trình vô nghiệm.
b) Để phương trình \(2\left( {x - 1} \right) - mx = 3\) có nghiệm duy nhất thì:
\(2 - m \ne 0\) suy ra \(m \ne 2\).
Vậy khi \(m \ne 2\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = \frac{5}{{2 - m}}\).
Cho \(\Delta ABC\) nhọn có AB < AC. Đường cao AH. Qua H vẽ \(HM \bot AB\) và \(HN \bot AC\).
a) Chứng minh $\Delta AMH\backsim \Delta AHB$.
b) Chứng minh \(AN.AC = A{H^2}\).
c) Vẽ đường cao BD cắt AH tại E. Qua D vẽ đường thẳng song song với MN cắt AB tại F. Chứng minh \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\).
a) Chứng minh $\Delta AMH\backsim \Delta AHB\left( g.g \right)$
b) Chứng minh $\Delta ANH\backsim \Delta AHC\left( g.g \right)$ suy ra \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(AN.AC = A{H^2}\).
c) Áp dụng định lý Thales để chứng minh \(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}\left( { = \frac{{AD}}{{AN}}} \right)\)
Chứng minh $\Delta AFE\backsim \Delta AMH\left( c.g.c \right)$ suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {AHM}\) mà \(\widehat {AHM} = \widehat {ABC}\) nên \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\).
a) Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta AHB\) có:
\(\widehat {AMH} = \widehat {AHB}\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\widehat A\) chung
suy ra $\Delta AMH\backsim \Delta AHB\left( g.g \right)$ (đpcm)
b) Xét \(\Delta ANH\) và \(\Delta AHC\) có:
\(\widehat {ANH} = \widehat {AHC}\left( { = {{90}^0}} \right)\)
\(\widehat A\) chung
suy ra $\Delta ANH\backsim \Delta AHC\left( g.g \right)$
suy ra \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) suy ra \(AN.AC = A{H^2}\) (đpcm)
c) Vì DF // NM nên \(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AD}}{{AN}}\)
Vì DE // HN nên \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AD}}{{AN}}\)
suy ra \(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}\)
Xét \(\Delta AFE\) và \(\Delta AMH\) có:
\(\widehat A\) chung
\(\frac{{AF}}{{AM}} = \frac{{AE}}{{AH}}\)
suy ra $\Delta AFE\backsim \Delta AMH\left( c.g.c \right)$ nên \(\widehat {AEF} = \widehat {AHM}\)
Mà \(\widehat {AHM} = \widehat {ABC}\)(vì $\Delta AMH\backsim \Delta AHB$)
Do đó \(\widehat {AEF} = \widehat {ABC}\) (đpcm)
Giải phương trình:
\(\left( {\frac{1}{{1.51}} + \frac{1}{{2.52}} + ... + \frac{1}{{10.60}}} \right)x = \left( {\frac{1}{{1.11}} + \frac{1}{{2.12}} + ... + \frac{1}{{50.60}}} \right)\)
Biến đổi a, b trong phương trình ax = b để tìm x.
Sử dụng kiến thức: \(\frac{1}{{a.b}} = \frac{1}{{b - a}}\left( {\frac{1}{a} - \frac{1}{b}} \right)\) với b > a
Phương trình \(\left( {\frac{1}{{1.51}} + \frac{1}{{2.52}} + ... + \frac{1}{{10.60}}} \right)x = \left( {\frac{1}{{1.11}} + \frac{1}{{2.12}} + ... + \frac{1}{{50.60}}} \right)\) có dạng ax = b với \(a = \frac{1}{{1.51}} + \frac{1}{{2.52}} + ... + \frac{1}{{10.60}}\) và \(b = \frac{1}{{1.11}} + \frac{1}{{2.12}} + ... + \frac{1}{{50.60}}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}a = \frac{1}{{1.51}} + \frac{1}{{2.52}} + ... + \frac{1}{{10.60}}\\ = \frac{1}{{50}}\left( {\frac{{50}}{{1.51}} + \frac{{50}}{{2.52}} + ... + \frac{{50}}{{10.60}}} \right)\\ = \frac{1}{{50}}\left[ {\left( {1 - \frac{1}{{51}}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{52}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{10}} - \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{{50}}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{10}}} \right) - \left( {\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\end{array}\)
\(\begin{array}{l}b = \frac{1}{{1.11}} + \frac{1}{{2.12}} + ... + \frac{1}{{50.60}}\\ = \frac{1}{{10}}\left( {\frac{{10}}{{1.11}} + \frac{{10}}{{2.12}} + ... + \frac{{10}}{{50.60}}} \right)\\ = \frac{1}{{10}}\left[ {\left( {1 - \frac{1}{{11}}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{12}}} \right) + ... + \left( {\frac{1}{{50}} - \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{{10}}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2} + ... + \frac{1}{{50}}} \right) - \left( {\frac{1}{{11}} + \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\\ = \frac{1}{{10}}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{10}}} \right) - \left( {\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\\ = 5.\frac{1}{{50}}\left[ {\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{10}}} \right) - \left( {\frac{1}{{51}} + \frac{1}{{52}} + ... + \frac{1}{{60}}} \right)} \right]\\ = 5a\end{array}\)
Phương trình trở thành: \(ax = 5a\) suy ra \(x = 5\).
Vậy nghiệm của phương trình \(\left( {\frac{1}{{1.51}} + \frac{1}{{2.52}} + ... + \frac{1}{{10.60}}} \right)x = \left( {\frac{1}{{1.11}} + \frac{1}{{2.12}} + ... + \frac{1}{{50.60}}} \right)\) là \(x = 5\).
English
French
Spanish
Russian