Đề bài
Chứng minh hằng đẳng thức: \({\left( {a + b + c} \right)^3} = {a^3} + {b^3} + {c^3} \)\(+ 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng hằng đẳng thức:
\( (A+B)^3=A^3+3A^2.B+3A.B^2+B^3\)
\( (A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)
Lời giải chi tiết
Biến đổi vế trái:\( {\left( {a + b + c} \right)^3}= {\left[ {\left( {a + b} \right) + c} \right]^3} \)
\(= {\left( {a + b} \right)^3} + 3{\left( {a + b} \right)^2}c \)\(+ 3\left( {a + b} \right){c^2} + {c^3}\)
\(= {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} \)\(+ 3\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right)c + 3a{c^2} + 3b{c^2} + {c^3}\)
\(= {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} \)\(+ 3{{a^2}c+ 6abc + 3{b^2}}c + 3a{c^2} + 3b{c^2} + {c^3}\)
\(= {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2}\)\( + 3{a^2}c + 6abc + 3{b^2}c + 3a{c^2} + 3b{c^2} \)
\(= {a^3} + {b^3} + {c^3} + (3{a^2}b + 3a{b^2})\)\( + (3{a^2}c + 3abc) + (3abc+3{b^2}c) \)\(+ (3a{c^2} + 3b{c^2}) \)
\(= {a^3} + {b^3} + {c^3} + 3ab\left( {a + b} \right) \)\(+ 3ac\left( {a + b} \right) + 3bc\left( {a + b} \right) \)\(+ 3{c^2}\left( {a + b} \right) \)
\(= {a^3} + {b^3} + {c^3} \)\(+ 3\left( {a + b} \right)\left( {ab + ac + bc + {c^2}} \right)\)
\( = {a^3} + {b^3} + {c^3} \)\(+ 3\left( {a + b} \right)\left[ {a\left( {b + c} \right) + c\left( {b + c} \right)} \right] \)
\(= {a^3} + {b^3} + {c^3} \)\(+ 3\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {a + c} \right) \)
Vế trái bằng vế phải đẳng thức được chứng minh.
[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]
English
French
Spanish
Russian