Đề bài
Hình thang cân \(ABCD\) \((AB// CD)\) có hai đường chéo cắt nhau tại \(I,\) hai đường thẳng chứa các cạnh bên cắt nhau ở \(K.\) Chứng minh rằng \(KI\) là đường trung trực của hai đáy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+) Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
+) Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
+) Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đi qua đỉnh của tam giác đó.
Lời giải chi tiết
Vì ABCD là hình thang cân nên:
\(\eqalign{
& \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\cr
& \Rightarrow \widehat {KDC} = \widehat {KCD} \cr} \)
\(⇒ ∆ KCD\) cân tại \(K\)
\(⇒ KD = KC\) (tính chất)
\(⇒ KA + AD = KB + BC\)
Mà \(AD = BC\) (tính chất hình thang cân)
\(⇒ KA = KB\)
Xét \(∆ ADC\) và \(∆ BCD \) có:
\(AD = BC\) (chứng minh trên)
\(AC = BD\) (tính chất hình thang cân)
\(CD\) cạnh chung
Do đó: \(∆ ADC = ∆ BCD\;\;\; (c.c.c)\)
\( \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\)
\(⇒ ∆ IDC\) cân tại \(I\)
\(⇒ IC = ID\) nên \(I\) thuộc đường trung trực của \(CD\)
\(KC = KD\) nên \(K\) thuộc đường trung trực của \(CD\)
\(K≢ I.\) Vậy \(KI\) là đường trung trực của \(CD.\)
Lại có: \(BD = AC\) (tính chất hình thang cân)
\(⇒ IB + ID = IA + IC\) mà \(ID = IC\) (chứng minh trên)
\(⇒ IB = IA\) nên \(I\) thuộc đường trung trực \(AB\)
\( KA = KB\) ( chứng minh trên) nên \(K\) thuộc đường trung trực \(AB\)
\(K≢ I.\) Vậy \(KI\) là đường trung trực của \(AB.\)
[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]
English
French
Spanish
Russian