Đề bài
Hình thang cân \(ABCD\) có \(O\) là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên \(AD,\) \(BC\) và \(E\) là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng \(OE\) là đường trung trực của hai đáy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta sử dụng kiến thức:
+) Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
+) Trong hình thang cân, hai đường chéo bằng nhau.
+) Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đi qua đỉnh của tam giác đó.
Lời giải chi tiết
Vì ABCD là hình thang cân nên:
\(\eqalign{
& \widehat {ADC} = \widehat {BCD} \cr
& \Rightarrow \widehat {ODC} = \widehat {OCD} \cr} \)
\(⇒ ∆ OCD\) cân tại \(O\)
\(⇒ OC = OD\)
\(⇒ OA + AD = OB + BC\)
Mà \(AD = BC\) (tính chất hình thang cân)
\(⇒ OA = OB\)
Xét \(∆ ADC\) và \(∆ BCD :\)
\(AD = BC\) (chứng minh trên)
\(AC = BD\) (tính chất hình thang cân)
\(CD\) cạnh chung
Do đó: \(∆ ADC = ∆ BCD\;\;\; (c.c.c)\)
\( \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\)
\(⇒ ∆ EDC\) cân tại \(E\)
\(⇒ EC = ED\) nên \(E\) thuộc đường trung trực của \(CD\)
\(OC = OD\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(CD\)
\(E≢ O.\) Vậy \(OE\) là đường trung trực của \(CD.\)
\(BD = AC\) (tính chất hình thang cân)
\(⇒ EB + ED = EA + EC\) mà \(ED = EC\) (chứng minh trên)
\(⇒ EB = EA\) \(\Rightarrow \Delta EAB\) cân tại \(E\)
nên \(E\) thuộc đường trung trực \(AB\)
\( OA = OB\) ( chứng minh trên) \(\Rightarrow \Delta OAB\) cân tại \(O\)
nên \(O\) thuộc đường trung trực \(AB\)
\(E≢ O.\) Vậy \(OE\) là đường trung trực của \(AB.\)
[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]
English
French
Spanish
Russian