Đề bài
Qua tâm \(O\) của hình vuông \(ABCD\) cạnh \(a,\) kẻ đường thẳng \(l\) cắt cạnh \(AB\) và \(CD\) lần lượt tại \(M\) và \(N.\) Biết \(MN = b.\) Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng \(l\) theo \(a\) và \(b\) (\(a\) và \(b\) có cùng đơn vị đo)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Chứng minh các tam giác bằng nhau:
\(∆ APM = ∆ CRN\) (cạnh huyền, góc nhọn)
\(∆ BQM = ∆ DSN\) (cạnh huyền, góc nhọn)
Sau đó, tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng \(l\) theo \(a\) và \(b.\)
Lời giải chi tiết
Gọi \(h_1\) và \(h_2\) là khoảng cách từ đỉnh \(B\) và đỉnh \(A\) đến đường thẳng \(l\); gọi tổng khoảng cách là \(S.\)
Vì \(O\) là tâm đối xứng của hình vuông.
\(⇒ OM = ON,OA=OC\) (tính chất đối xứng tâm)
Suy ra: \(AM = CN\) (đối xứng qua \(O\))
\(\widehat {AMP} = \widehat {DNS}\) (đồng vị)
\(\widehat {DNS} = \widehat {CNR}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \widehat {AMP} = \widehat {CNR}\)
Suy ra: \(∆ APM = ∆ CRN\) (cạnh huyền, góc nhọn)
\(⇒ CR = AP =h_2\)
\(AM = CN\) (hai cạnh tương ứng)
\(⇒ BM = DN\)
\(\widehat {BMQ} = \widehat {DNS}\) (so le trong)
Suy ra: \(∆ BQM = ∆ DSN\) (cạnh huyền, góc nhọn) \(⇒ DS = BQ =h_1\)
\(\eqalign{ & {S_{BOA}} = {1 \over 4}{S_{ABCD}} = {1 \over 4}{a^2}\,(1) }\)
\(\eqalign{{S_{BOA}} = {S_{BOM}} + {S_{AOM}} }\)
\(\eqalign{= {1 \over 2}{b \over 2}.{h_1} + {1 \over 2}{b \over 2}.{h_2} }\)
\(\eqalign{= {b \over 4}\left( {{h_1} + {h_2}} \right)\,(2) }\)
Từ \((1)\) và \((2):\) \({h_1} + {h_2} = \dfrac{{{a^2}}}{b}\)
\(S = 2\left( {{h_1} + {h_2}} \right) = \dfrac{{2{a^2}} }{ b}\)
[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]
English
French
Spanish
Russian