Bài 13 trang 85 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình thang $ABCD$ $(AB//CD,AB<CD)$. Gọi trung điểm của các đường chéo $AC,BD$ thứ tự là $N$ và $M.$ Chứng minh rằng:

a) $MN//AB;$

b) ${\displaystyle MN=\frac{CD-AB}{2}}$

Lời giải chi tiết

a) Gọi $P$ là trung điểm của $AD$, nối $PM.$

Xét $\mathrm{\Delta }DAB$ có:

${\displaystyle \frac{PA}{AD}=\frac{1}{2};\frac{BM}{BD}=\frac{1}{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow \frac{PA}{AD}=\frac{BM}{BD}}$

Theo định lí đảo của định lí Ta-lét ta có $PM//AB$                       (1)

Xét $\mathrm{\Delta }ACD$ có: ${\displaystyle \frac{AP}{AD}=\frac{1}{2};\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}}$

$\Rightarrow {\displaystyle \frac{AP}{AD}=\frac{AN}{AC}}$

Theo định lí đảo của định lí Ta-lét ta có $PN//CD$                         (2)

$AB//CD$ (gt)     (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $PM//AB$ và $PN//AB$

Qua $P$ có hai đường thẳng $PN$, $PM$ cùng song song với $AB$, theo tiên đề Ơ-clít thì $PN\equiv PM$ hay $P,M,N$ thẳng hàng.

Vậy $MN//AB$.

b) Vì $PM$ là đường trung bình của tam giác $DAB$ nên ta có:

${\displaystyle PM=\frac{AB}{2}}$ (tính chất đường trung bình tam giác)

Vì $PN$ là đường trung bình của tam giác $ADC$ nên ta có:

${\displaystyle PN=\frac{CD}{2}}$ (tính chất đường trung bình tam giác)

Vậy $MN=PN-PM$ ${\displaystyle =\frac{CD}{2}-\frac{AB}{2}=\frac{CD-AB}{2}}$

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]