Bài 88 trang 157 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Cho hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có các cạnh đáy là $a$ và $2a,$ chiều cao của mặt bên là $a.$

a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp cụt.

b) Tính độ dài cạnh bên và chiều cao hình chóp cụt.

Lời giải chi tiết

a) Mỗi mặt bên của hình chóp cụt là một hình thang có hai đáy là $a$ và $2a$; đường cao bằng $a.$

Diện tích một mặt bên là:

${\displaystyle S=\left(a+2a\right).a:2=\frac{3}{2}{a}^2}$ (đvdt)

Diện tích xung quanh hình chóp cụt là:

$S_{xq}={\displaystyle 4.\frac{3}{2}{a}^2=6a^2}$  (đvdt)

b) Kẻ $A^{\prime }H\perp AB$.

Ta lấy $K$ là trung điểm của $AB$, $I$ là trung điểm của $A^{\prime }{B}^{\prime },$ $O$ và $O^{\prime }$ là tâm của hai hình vuông đáy.

Ta có $A^{\prime }I={\displaystyle \frac{a}{2};AK=a,IK=a}$ mà $HK=A^{\prime }I={\displaystyle \frac{a}{2}}$ (do $AIKH$ là hình chữ nhật)

$\Rightarrow AH=AK-KH=a-{\displaystyle \frac{a}{2}={\displaystyle \frac{a}{2}}}$

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $A{A}^{\prime }H$, ta có:

$A^{\prime }{A}^2=A^{\prime }{H}^2+A{H}^2$${\displaystyle =a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{5a^2}{4}}$

$\Rightarrow A{A}^{\prime }={\displaystyle \sqrt{\frac{5a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}}$

Vì $O^{\prime }I$ là đường trung bình của tam giác $A^{\prime }{D}^{\prime }{B}^{\prime }$ nên $O^{\prime }I={\displaystyle \frac{A^{\prime }{D}^{\prime }}{2}}={\displaystyle \frac{a}{2}}$

Kẻ $IE\perp OK$. Khi đó, $O^{\prime }IEO$ là hình chữ nhật nên $OE=O^{\prime }I={\displaystyle \frac{a}{2}}$ và $IE=O{O}^{\prime }$

Vì $OK$ là đường trung bình của tam giác $ADB$ nên $OK={\displaystyle \frac{AD}{2}}=a$

$\Rightarrow EK=OK-OE$$=a-{\displaystyle \frac{a}{2}={\displaystyle \frac{a}{2}}}$

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông $IEK$, ta có:

$I{K}^2=I{E}^2+E{K}^2$

$\Rightarrow I{E}^2=I{K}^2-E{K}^2$

$\Rightarrow I{E}^2={\displaystyle a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}}$

$\Rightarrow IE={\displaystyle \sqrt{\frac{3a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}}$.

Vậy chiều cao hình chóp cụt là $O{O}^{\prime }=IE={\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{2}}$.

[hoctot.me - Trợ lý học tập AI]